《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 圆心在底边上结合切线的性质求长度 如图,在
$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,点 O 是斜边 AB 边上
一点,以 O 为圆心,OA 为
半径作圆,$\odot O$恰好与边
BC 相切于点 D,连接
A. 若$AD= BD,\odot O$的
半径为$\sqrt {3}$,则 CD 的长为
( )
A. $\frac {9}{4}$
B. $\frac {3}{2}$
C. 3
D. $2\sqrt {3}$

答案：
B 如图,连接 OD,则 OD=OA,
∴∠BAD=∠ODA.
∵⊙O 与边 BC 相切于点 D,
∴BC⊥OD,
∴∠ODB=90°=∠C,
∴OD//AC,
∴∠ODA=∠CAD,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B,
∴∠BAD=∠CAD=∠B.
∵∠BAD+∠CAD+∠B=3∠B=∠CAB+∠B=90°,
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°,
∴∠BOD=90°-∠B=60°,
∵OD=√3,
∴AD=BD=3,
∴CD=1/2AD=1/2×3=3/2.

2 圆心在三线上判定切线 [2023 临沂中考改编]
如图,$\odot O是△ABC$的外接圆,BD 是$\odot O$的
直径,$AB= AC,AE// BC$,延长 BD 交 AE 于
点 E.
求证:(1)$∠BAC= 2∠ABD;$
(2)AE是$\odot O$的切线.

答案： 证明:
(1)连接 AO 并延长,交 BC 于点 M.
∵AB=AC,⊙O 是△ABC 的外接圆,
∴AM 垂直平分 BC,
∴AM 平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAO.
∵OA=OB,
∴∠BAO=∠ABD,
∴∠BAC=2∠ABD.
(2)
∵AB=AC,
∴AM 垂直平分 BC,
∴∠AMC=90°.
∵AE//BC,
∴∠OAE=90°.又
∵OA 是⊙O 的半径,
∴AE 是⊙O 的切线.

3 圆心在底边上判定切线 [2024 庆阳期末]如图,
在$△ABC$中,$AB= AC$,点 D 是 BC 的中点,以
BD 为直径作$\odot O$,交边 AB 于点 P,连接
AD,PC.
(1)求证:AD是$\odot O$的切线.
(2)若 PC 是$\odot O$的切线,$BC= 4$,求 PC 的长.

答案：

(1)证明:
∵AB=AC,点 D 是 BC 的中点,
∴AD⊥BC.
∵BD 是⊙O 的直径,
∴AD 是⊙O 的切线.
(2)解:如图,连接 OP.
∵PC 是⊙O 的切线,
∴∠OPC=90°.
∵BC=4,点 D 是 BC 的中点,
∴BD=CD=1/2BC=2,
∵BD 是⊙O 的直径,
∴OD=OP=1,
∴OC=OD+CD=3,
∴PC=√(OC²-OP²)=2√2.

4 圆心在腰上结合切线求长度和角度 如图,在$△ABC$
中,$AB= AC$,以 AB 为直径的$\odot O$与 BC 相交于
点 D,与 AC 相交于点 F. 过点 D 的切线与 AC
相交于点 E,连接 BF,OD.
(1)若$∠BAC= 45^{\circ }$,求$∠C和∠DEC$的度数;
(2)若$BC= 12,AB= 10$,求 BF 的长.

答案： 解:
(1)
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠BAC=45°,
∴∠C=∠ABC=1/2×(180°-45°)=67.5°.
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠C=∠ODB,
∴OD//AC,
∴∠ODE=∠DEC.
∵DE 为⊙O 的切线,
∴∠ODE=90°,
∴∠DEC=90°.
(2)连接 AD.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴AD⊥BC,BF⊥AC.
∵AB=AC,
∴BD=CD.
∵BC=12,
∴BD=CD=6.
∵AB=10,
∴AD=√(AB²-BD²)=8.
∵S△ABC=1/2BC·AD=1/2AC·BF,
∴BF=(BC·AD)/AC=12×8/10=48/5.

5 圆心在腰上判定切线 一题多解 [2022 广西北
部湾经济区中考]如图,在$△ABC$中,$AB= $
AC,以 AC 为直径作$\odot O$交 BC 于点 D,过点 D
作$DE⊥AB$,垂足为点 E,延长 BA 交$\odot O$于
点 F.
(1)求证:DE是$\odot O$的切线.
(2)若$\frac {AE}{DE}= \frac {2}{3},AF= 10$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:证法一 如图,连接 OD.
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠OCD,
∴∠B=∠ODC,
∴OD//AB.

∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD.
∵OD 是半径,
∴DE 是⊙O 的切线.证法二 如图,连接 OD.
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠OCD,
∴∠B=∠ODC.
∵DE⊥AB,
∴∠B+∠BDE=90°,
∴∠ODC+∠BDE=90°,
∴∠ODE=180°-90°=90°,即 DE⊥OD.
∵OD 是半径,
∴DE 是⊙O 的切线.
(2)解:如图,连接 AD,CF,则∠AFC=∠ADC=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠BED=90°,
∴DE//CF.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∴DE 是△FBC 的中位线,
∴BE=EF,CF=2DE.设 AE=2k,DE=3k,则 CF=6k.
∵AF=10,
∴BE=EF=AE+AF=2k+10,
∴AC=AB=BE+AE=4k+10.在 Rt△ACF 中,由勾股定理,得 AC²=AF²+CF²,即(4k+10)²=10²+(6k)²,解得 k=4(0 舍去),
∴AC=4k+10=4×4+10=26,
∴OA=13,即⊙O 的半径为 13.