《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

8 [2024宿州埇桥区期中]若$(a^{2}-3)(a^{2}+1)= 0$,则$a^{2}$的值为( )

A.-1或3
B.1或-3
C.-1
D.3

答案： D
∵(a²-3)(a²+1)=0,
∴a²=3或-1,又
∵a²≥0,
∴a²=3.

9 [2024赤峰中考]等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-10x+21= 0$的两个根,则这个三角形的周长为( )

A.17或13
B.13或21
C.17
D.13

答案： C 解方程x²-10x+21=0,得x₁=3,x₂=7,
∵3+3＜7,
∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,
∴这个三角形的周长为3+7+7=17.

10 [2025成都郫都二中期中]用因式分解法解方程$x^{2}+px-6= 0$,将左边分解因式后有一个因式是$x-3$,则p的值是______.

答案： -1 由题意,设x²+px-6=(x-3)(x+a),
∴x²+px-6=x²+(a-3)x-3a,
∴p=a-3,-6=-3a,
∴a=2,p=-1.

11 一题多解 若关于x的方程$x^{2}-2px+3q= 0$的两根分别是-3和5,则多项式$2x^{2}-4px+6q$可以分解为______.

答案： 2(x+3)(x-5) 解法一 由题意,知x²-2px+3q=(x+3)(x-5),所以2x²-4px+6q=2(x²-2px+3q)=2(x+3)(x-5).解法二 因为方程x²-2px+3q=0的两根分别是-3和5,所以$\begin{cases}9+6p+3q=0, \\25-10p+3q=0, \\\end{cases}$解得$\begin{cases}p=1, \\q=-5, \\\end{cases}$所以2x²-4px+6q=2x²-4x-30=2(x²-2x-15)=2(x+3)(x-5).

12 [2024枣庄期中]如图,已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点,且点O为AB的中点,点B为AC的中点.若点B表示的数是x,点C表示的数是$x^{2}-3x$,则$x= $______.

答案： 6
∵O是原点,且是AB的中点,
∴OA=OB,
∵点B表示的数是x,
∴点A表示的数是-x.
∵B是AC的中点,
∴AB=BC,
∴(x²-3x)-x=x-(-x),即x²-6x=0,
∴x(x-6)=0,解得x₁=0,x₂=6.
∵点B异于原点,
∴x≠0,
∴x=6.

13 我们知道可以用公式$x^{2}+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)$来分解因式,解关于x的一元二次方程.
(1)方程$x^{2}+6x+8= 0$可分解为______= 0,方程$x^{2}-7x-30= 0$可分解为______= 0.
(2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解.
如方程$3x^{2}-7x+2= 0可分解为(x-2)(3x-1)= 0$,从而可以快速求出方程的根.

请你利用此方法尝试解方程$4x^{2}-8x-5= 0.$

答案： 解:
(1)(x+2)(x+4) (x-10)(x+3)
(2)方程4x²-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x+1)=0,
∴2x-5=0或2x+1=0,
∴x₁=$\frac{5}{2}$,x₂=-$\frac{1}{2}$.

14 运算能力 阅读:我们可以用换元法解简单的高次方程,解方程$x^{4}-3x^{2}+2= 0$时,可设$y= x^{2}$,则原方程可化为$y^{2}-3y+2= 0$,解得$y_{1}= 2,y_{2}= 1$.当$y= 2$时,$x^{2}= 2$,所以$x_{1}= \sqrt {2},x_{2}= -\sqrt {2}$;当$y= 1$时,$x^{2}= 1$,所以$x_{3}= 1,x_{4}= -1$,故原方程的根为$x_{1}= \sqrt {2},x_{2}= -\sqrt {2},x_{3}= 1,x_{4}= -1.$
仿照上述方法解答下列问题.
(1)已知方程$(2x^{2}+1)^{2}+2x^{2}-3= 0$,设$y= 2x^{2}+1$,则原方程可化为______.
(2)解方程:$(x^{2}-2x+1)^{2}+2x^{2}-4x-1= 0.$

答案： 解:
(1)y²+y-4=0
(2)设y=x²-2x+1,则原方程左边=(x²-2x+1)²+2(x²-2x+1)-3=y²+2y-3,所以原方程可化为y²+2y-3=0,解得y₁=1,y₂=-3.当y=1时,x²-2x+1=1,所以x(x-2)=0,解得x₁=0,x₂=2;当y=-3时,x²-2x+1=-3,所以x²-2x+4=0,因为Δ=(-2)²-4×1×4=-12＜0,所以此方程无实数根,故原方程的根为x₁=0,x₂=2.

【思考】比较学过的各种整式方程,说明它们之间的区别.
解一元二次方程的基本思想是什么?各种解法在什么情况下比较适用?与同伴交流.

答案： 1. 整式方程区别：
一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，一般形式ax+b=0(a≠0)
一元二次方程：含一个未知数，未知数最高次数2，一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)
二元一次方程：含两个未知数，未知数最高次数1，一般形式ax+by+c=0(a、b≠0)
2. 解一元二次方程基本思想：降次，将二次方程转化为一次方程
3. 解法适用情况：
直接开平方法：方程形如(x+m)²=n(n≥0)
配方法：所有一元二次方程，二次项系数化为1后一次项系数为偶数时更简便
公式法：所有一元二次方程，求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)(b²-4ac≥0)
因式分解法：方程一边为0，另一边能分解为两个一次因式乘积，且分解简便时