《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

12 [2025庆阳期中]对于抛物线$y= x^{2}$,当$-1≤x≤2$时,y的取值范围是( )

A.$1≤y≤4$
B.$0＜y≤4$
C.$0≤y≤4$
D.$1＜y＜4$

答案： C
∵二次函数 $ y=x^{2} $ 中 $ a=1＞0 $,
∴抛物线开口向上.
∵抛物线的对称轴是y轴,
∴当 $ x＞0 $,时,y随x的增大而增大;当 $ x＜0 $时,y随x的增大而减小.当 $ x=0 $时,y取得最小值,为0;当 $ x=-1 $时,$ y=1 $;当 $ x=2 $时,$ y=4 $,
∴当 $ -1\leqslant x\leqslant2 $时,$ 0\leqslant y\leqslant4 $.

13 一题多解[2025湖州吴兴区月考]在同一平面直角坐标系中,二次函数$y= ax^{2}(a≠0)与一次函数y= ax+a$的图象大致是( )

答案： B 解法一 当 $ a＞0 $时,函数 $ y=ax^{2} $ 的图象开口向上,函数 $ y=ax+a $ 的图象经过第一、第二、第三象限,所以A,D错误,B正确;当 $ a＜0 $时,函数 $ y=ax^{2} $ 的图象开口向下,函数 $ y=ax+a $ 的图象经过第二、第三、第四象限,所以C错误.
解法二 A项,由一次函数的增减性,知 $ a＜0 $,由一次函数的图象与y轴的交点,知 $ a＞0 $,故A不符合题意;B项,由二次函数的图象,知 $ a＞0 $,由一次函数的图象,知 $ a＞0 $,故B符合题意;C项,由二次函数的图象,知 $ a＜0 $,由一次函数的图象,知 $ a＞0 $,故C不符合题意;D项,由二次函数的图象,知 $ a＞0 $,由一次函数的图象,知 $ a＜0 $,故D不符合题意.

14 [2025北京房山区期中]已知点$A(-1,3),B(3,3)$,若抛物线$y= ax^{2}(a≠0)$与线段AB只有一个公共点,则a的取值范围是( )

A.$0＜a≤\frac {1}{3}$
B.$0＜a＜3$
C.$\frac {1}{3}＜a＜3$
D.$\frac {1}{3}≤a＜3$

答案： D
∵抛物线 $ y=ax^{2} $ 的对称轴为y轴,顶点坐标为 $ (0,0) $,
∴当 $ a＜0 $ 时,二次函数 $ y=ax^{2} $ 有最大值0,抛物线 $ y=ax^{2} $ 与线段AB没有交点;当 $ a＞0 $ 时,
∵抛物线 $ y=ax^{2} $ 与线段AB只有一个公共点,
∴当 $ x=-1 $时,$ y=a＜3 $;当 $ x=3 $时,$ y=9a\geqslant3 $,解得 $ a\geqslant\frac{1}{3} $,
∴ $ \frac{1}{3}\leqslant a＜3 $.

15 [2025吉林船营区月考]如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数$y= 2x^{2}与y= -2x^{2}$的图象,则阴影部分的面积是____.

答案： 8 由二次函数 $ y=2x^{2} $ 和 $ y=-2x^{2} $ 的图象关于x轴对称,可知阴影部分的面积是正方形面积的一半,所以阴影部分的面积是 $ \frac{1}{2}×4^{2}=8 $.

16 [2024北京三十五中期中]对于二次函数$y= ax^{2}和y= bx^{2}(a≠0,b≠0)$,其自变量与函数值的两组对应值如表所示：
|x| -1| $m(m≠-1)$|
|$y= ax^{2}$|c|c|
|$y= bx^{2}$|$c+3$|d|
根据表中相关数据可知,m的值为____,$d-c$的值为____.

答案：
1 3
x=-1和x=m时,函数值相等 $ c+3=d $ $ d-c=3 $
$ y=ax^{2} $和 $ y=bx^{2} $ 的图象的对称轴均为y轴 $ m+(-1)=0 $ $ m=1 $

17 [2025渭南大荔期中]如图,已知抛物线$y= 2x^{2}$,正方形ABCD的顶点A,B在抛物线上,顶点C,D在x轴上,求点A的坐标.

答案： 解:设正方形ABCD的边长为2a,则 $ A(a,2a),B(-a,2a) $.
∵点A在抛物线 $ y=2x^{2} $ 上,
∴ $ 2a=2a^{2} $,
∴ $ a=1 $ 或 $ a=0 $(舍去),
∴ $ A(1,2) $.

18 [2025广安友谊中学月考]如图,已知点$A(-2,4)在抛物线y= ax^{2}(a≠0)$上,过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B.
(1)求a的值和点B的坐标；
(2)若点P是抛物线上一点,当以点A,B,P为顶点构成的$\triangle ABP$的面积为2时,求点P的坐标.

答案： 解:
(1)把 $ A(-2,4) $ 的坐标代入 $ y=ax^{2}(a\neq0) $,得 $ 4=a×(-2)^{2} $,
∴ $ a=1 $,
∴抛物线的解析式为 $ y=x^{2} $,
∴抛物线的对称轴为y轴.
∵ $ AB// x $ 轴,且点B在抛物线上,
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称,即关于y轴对称,
∴ $ B(2,4) $.
(2)
∵ $ A(-2,4),B(2,4) $,
∴ $ AB=2-(-2)=4 $.
∵ $ \triangle ABP $ 的面积为2,$ AB// x $ 轴,
∴ $ \frac{1}{2}AB\cdot|y_{P}-4|=2 $,$ \frac{1}{2}×4×|y_{P}-4|=2 $,
∴ $ y_{P}=3 $ 或 $ y_{P}=5 $.在 $ y=x^{2} $ 中,当 $ y=3 $时,$ x=\pm\sqrt{3} $,当 $ y=5 $ 时,$ x=\pm\sqrt{5} $,
∴点P的坐标为 $ (-\sqrt{3},3),(\sqrt{3},3),(-\sqrt{5},5) $ 或 $ (\sqrt{5},5) $.