《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2023天津中考]若$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-6x-7= 0$的两个根,则 ( )

A.$x_{1}+x_{2}= 6$
B.$x_{1}+x_{2}= -6$
C.$x_{1}x_{2}= \frac {7}{6}$
D.$x_{1}x_{2}= 7$

答案： A

2 [2025天津河北区期末]已知关于x的方程$x^{2}+mx-n= 0的两根分别为x_{1},x_{2}$,且满足$x_{1}+x_{2}= 2,x_{1}x_{2}= -3$,则$m+n$的值为 ( )

A.1
B.-4
C.4
D.-1

答案： A
∵关于x的方程$x^{2}+mx-n=0$的两根分别为$x_{1},x_{2}$,
∴$x_{1}+x_{2}=-m$,$x_{1}x_{2}=-n$,
∵$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=-3$,
∴$-m=2$,$-n=-3$,
∴$m=-2$,$n=3$,
∴$m+n=-2+3=1$.

3 [2025云浮一中期中]下列一元二次方程中,两根之和为2的是 ( )

A.$2x^{2}-4x+1= 0$
B.$x^{2}+2x-1= 0$
C.$x^{2}-2x+3= 0$
D.$x^{2}-5x+2= 0$

答案： A A项,方程$2x^{2}-4x+1=0$的两根之和为2,所以A选项符合题意;B项,方程$x^{2}+2x-1=0$的两根之和为-2,所以B选项不符合题意;C项,方程$x^{2}-2x+3=0$没有实数根(关键点:求两根之和的前提是方程有实数根),所以C选项不符合题意;D项,方程$x^{2}-5x+2=0$的两根之和为5,所以D选项不符合题意.

4 一题多解[2025呼和浩特二十七中月考]若$x_{1}= -1是方程x^{2}+x+m= 0$的一个根,则此方程的另一个根是 ( )

A.$x_{2}= -1$
B.$x_{2}= 0$
C.$x_{2}= 1$
D.$x_{2}= 2$

答案： B 解法一(利用根与系数的关系)
∵方程$x^{2}+x+m=0$的一个根是$x_{1}=-1$,两根之和为$-\frac{1}{1}=-1$,
∴$-1+x_{2}=-1$,
∴$x_{2}=0$.解法二(利用解方程) 把$x_{1}=-1$代入方程$x^{2}+x+m=0$,得$1-1+m=0$,解得$m=0$,
∴原方程为$x^{2}+x=0$,解方程得$x_{1}=-1$,$x_{2}=0$.

5 [2024杭州西湖区月考]关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两根为x_{1}= 1,x_{2}= -1$,那么下列结论一定成立的是 ( )

A.$a= 1,c= 1$
B.$a= 1,c= -1$
C.$a-c= 0$
D.$a+c= 0$

答案： D
∵关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$,
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=0$,$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-1$,
∴$b=0$,$a+c=0$.

6 [2025常州金坛区期中]若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m= 0两根为x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则m的值为 ( )

A.4
B.8
C.12
D.16

答案： C
∵一元二次方程$x^{2}-8x+m=0$的两根为$x_{1},x_{2}$,
∴$x_{1}+x_{2}=8$.
∵$x_{1}=3x_{2}$,
∴$8-x_{2}=3x_{2}$,解得$x_{2}=2$,
∴$x_{1}=6$,
∴$m=x_{1}x_{2}=6×2=12$.

7 [2024绥化中考]小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 ( )

A.$x^{2}+6x+5= 0$
B.$x^{2}-7x+10= 0$
C.$x^{2}-5x+2= 0$
D.$x^{2}-6x-10= 0$

答案： B 设原方程为$ax^{2}+bx+c=0$,
∵小影在化简过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1,
∴$-\frac{b}{a}=6+1=7$,又
∵小冬写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5,
∴$\frac{c}{a}=(-2)×(-5)=10$,结合选项知B选项符合题意.

8 已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$2x^{2}+kx-2= 0$的两个实数根,且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)= 10$,则k的值为 ( )

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： C
∵$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}+kx-2=0$的两个实数根,
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{k}{2}$,$x_{1}x_{2}=-1$,
∴$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4=-1-2×(-\frac{k}{2})+4=10$,解得$k=7$.

9 [2025宜宾翠屏区期末]已知α和β是方程$x^{2}+2024x-2= 0$的两个根,则$α^{2}+2025α+β$的值为 ( )

A.-2024
B.2024
C.-2022
D.2022

答案： C
∵α和β是方程$x^{2}+2024x-2=0$的两个根,
∴$α^{2}+2024α-2=0$,$α+β=-2024$,
∴$α^{2}+2024α=2$,
∴$α^{2}+2025α+β=α^{2}+2024α+α+β=(α^{2}+2024α)+(α+β)=2+(-2024)=-2022$.

10 [2024成都中考]若m,n是一元二次方程$x^{2}-5x+2= 0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为____.

答案： 7 解题思路:先利用已知条件求出$n^{2}-5n+2=0$,$m+n=-\frac{b}{a}=5$,从而得到$n^{2}=5n-2$,再将$m+(n-2)^{2}$展开,利用$n^{2}=5n-2$替换$n^{2}$项,整理后得到$m+n+2$,再将$m+n=5$代入即可.
∵m,n是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根,
∴$n^{2}-5n+2=0$,$m+n=-\frac{b}{a}=5$,则$n^{2}=5n-2$,
∴$m+(n-2)^{2}=m+n^{2}-4n+4=m+5n-2-4n+4=m+n+2=5+2=7$.

11 新考法[2024上海黄浦区期中]已知$xy≠1$,且有$x^{2}+20x+10= 0及10y^{2}+20y+1= 0$,则$\frac {x}{y}$的值为____.

答案： 10
∵$10y^{2}+20y+1=0$且$y≠0$,
∴$(\frac{1}{y})^{2}+20×\frac{1}{y}+10=0$(方程两边同除以$y^{2}$).
∵$x^{2}+20x+10=0$,$xy≠1$,
∴x,$\frac{1}{y}$可看作方程$t^{2}+20t+10=0$的两根,
∴$x·\frac{1}{y}=10$,即$\frac{x}{y}=10$.

12 [2024内江中考]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1= 0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}和x_{2}$.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}= $____,$x_{1}x_{2}= $____.
(2)求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}},x_{1}+\frac {1}{x_{1}}$的值.
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p+1$,求p的值.

答案： 解:
(1)p 1
(2)
∵$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,
∴$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=p$,
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,
∴$x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$且$x_{1}≠0$,
∴$x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,
∴$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(3)
∵$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$.
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,
∴$p^{2}-2=2p+1$,解得$p=-1$或$p=3$.当$p=-1$时,$Δ=1^{2}-4×1×1=-3＜0$,不符合题意,舍去;当$p=3$时,$Δ=(-3)^{2}-4×1×1=5＞0$,符合题意.
∴$p=3$(本题根据根与系数的关系求出p的值后,容易忘记利用根与系数关系的前提是$Δ≥0$而出错).归纳总结与一元二次方程两根有关的几个常用代数式的变形
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$;
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$;
(3)$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$;
(4)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$;
(5)$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$;
(6)$(x_{1}+k)(x_{2}+k)=x_{1}x_{2}+k(x_{1}+x_{2})+k^{2}$.