《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2025大连中山区期中]下列式子中,表示y是x的二次函数的是 ( )

A.$y = x ^ { 2 }$
B.$x ^ { 2 } - 2 x + 2 = 0$
C.$y = x - 1$
D.$y = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$

答案： A 解题思路:二次函数满足的三个条件:
(1)函数解析式是整式;
(2)化简后自变量的最高次数是2;
(3)二次项系数不为0.A项符合题意;B项是一元二次方程;C项是一次函数;D项等号右边不是整式,不符合题意.

2 [2024江门蓬江区期末]若$y = ( a - 3 ) x ^ { 2 } + b x + c$是x的二次函数,则a的取值范围是 ( )

A.$a = 3$
B.$a = - 3$
C.$a \neq 3$
D.$a \neq - 3$

答案： C
∵y=(a-3)x²+bx+c是关于x的二次函数,
∴a-3≠0(二次项系数不为0),即a≠3.

3 [2024洛阳涧西区期中]二次函数$y = x ^ { 2 } - 6 x - 1$的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ( )

A.1, - 6, - 1
B.1,6,1
C.0, - 6,1
D.0,6, - 1

答案： A

4 [2025北京延庆区期中]关于函数$y = ( 500 - 10 x ) ( 40 + x )$,下列说法不正确的是 ( )

A.y是x的二次函数
B.二次项系数是 - 10
C.一次项是100
D.常数项是20 000

答案： C y=(500-10x)(40+x)=-10x²+100x+20000,所以y是x的二次函数,二次项系数是-10,一次项是100x,常数项是20000,所以A,B,D说法正确,C说法不正确,C项符合题意.

5 [易错题[2025德州庆云期中]若函数$y = ( a - 1 ) x ^ { a ^ { 2 } + 1 } + 2 x + 3$是关于x的二次函数,则a的值为____.

答案： -1

6 [2025长沙明德教育集团期中]下列函数关系中,是二次函数的是 ( )

A.生产100吨钢材,工作效率x和工作时间y之间的关系
B.当速度为100 km/h时,汽车匀速行驶的距离s与时间t之间的关系
C.长方形的周长C一定时,长方形的长y与宽x之间的关系
D.圆的面积S与半径r之间的关系

答案： D 根据题意可知,各选项解析式如下表所示.________A项　　B项　　　C项　　D项解析式y=$\frac{100}{x}$　s=100t　y=$\frac{C}{2}$−x　S=πr²

7 [教材P29T2变式]在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为$x ( 0 ＜ x ＜ 2 )$的小正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数解析式是 ( )

A.$y = x ^ { 2 }$
B.$y = 4 - x ^ { 2 }$
C.$y = x ^ { 2 } - 4$
D.$y = 4 - 2 x$

答案： B 根据剩余部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积,得出y关于x的函数解析式为y=4-x²(0＜x＜2).

8 [教材P28问题2变式[2025赤峰松山区期中]最新报道显示,2023年我国新能源汽车累计销量为949.5万辆,销量逐年增加.若2025年的累计销量为y万辆,平均每年增长率为x,则y关于x的函数解析式为 ( )

A.$y = ( 1 + x ) ^ { 2 }$
B.$y = 949.5 x ( 1 + x )$
C.$y = 949.5 ( 1 + x ) ^ { 2 }$
D.$y = 949.5 + ( 1 + x ) ^ { 2 }$

答案： C 归纳总结平均变化率公式:若设变化前的量是a,变化后的量为b,每次的变化率为x,则经过n次变化后的数量关系为a(1±x)ⁿ=b.

9 [教材P28问题1变式[2025宁夏石嘴山二中期中]寒假期间,九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿,约定每两名同学之间互发一次信息,那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为 ( )

A.$m = \frac { 1 } { 2 } n ( n + 1 )$
B.$m = \frac { 1 } { 2 } n ( n - 1 )$
C.$m = \frac { 1 } { 2 } n ^ { 2 }$
D.$m = n ( n - 1 )$

答案： D 解题思路:一共有n名同学,由于每两名同学之间互发一次信息,那么每一名同学都需给(n-1)名同学发一次信息,所以互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为m=n(n-1).

10 [2025天津津南区多校期中联考]某体育用品批发商经销某品牌篮球,每个篮球盈利10元,每天销售500个,经市场调查发现:若每个篮球涨价1元,每天销售量减少20个,设每个篮球涨价x元,且$0 \leq x \leq 25$,每天售出篮球的利润为y元,则y与x的函数关系式是 ( )

A.$y = 500 - 20 x$
B.$y = ( 500 - 20 x ) ( 10 + x )$
C.$y = ( 500 + 10 x ) ( 10 - x )$
D.$y = ( 500 - 10 x ) ( 10 + x )$

答案： B 解题思路:当每个篮球涨价x元时,每个篮球盈利(10+x)元,每天可销售(500-20x)个,利用每天售出篮球的利润=每个篮球的销售利润×日销售量,可得y与x的函数关系式为y=(500-20x)(10+x).

【思考】类比一次函数的学习,二次函数的研究路径是什么?

答案： 【解析】：
本题要求类比一次函数的学习路径，给出二次函数的研究路径。一次函数的学习通常从定义出发，然后研究其图象与性质，最后应用这些性质解决实际问题。因此，对于二次函数，我们也可以采用类似的研究路径。
首先，我们需要明确二次函数的定义，即形如$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的函数。
接着，我们可以研究二次函数的图象，包括其开口方向、顶点坐标、对称轴等性质。
然后，我们可以进一步探讨二次函数的性质，如单调性、最值等。
最后，我们可以应用这些性质解决实际问题，如最大面积、最大利润等问题。
【答案】：
二次函数的研究路径可以是：
1.从定义出发，明确二次函数的形式和自变量取值范围；
2.研究二次函数的图象，了解其开口方向、顶点坐标、对称轴等基本性质；
3.探讨二次函数的性质，如单调性、最值等；
4.应用二次函数的性质解决实际问题。