《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

10 一题多解已知二次函数$y= -x^{2}+bx+c的图象的顶点坐标为(1,5)$,那么关于x的一元二次方程$-x^{2}+bx+c-4= 0$的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A 解法一 由题意，知二次函数的解析式为$y=-(x - 1)^{2}+5=-x^{2}+2x+4$，则$-x^{2}+bx+c - 4=0$，即$-x^{2}+2x=0$，解得$x = 0$或$x = 2$，故该方程有两个不相等的实数根。解法二 要判断方程$-x^{2}+bx+c - 4=0$的根的情况，只需判断抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与直线$y = 4$的交点情况。因为抛物线$y=-x^{2}+bx+c$开口向下，顶点坐标为(1,5)，所以画出抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与直线$y = 4$如图所示。由图可知，抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与直线$y = 4$有两个交点，故方程$-x^{2}+bx+c - 4=0$有两个不相等的实数根。

11 一题多解[2023 衡阳中考]已知$m＞n＞0$,若关于x的方程$x^{2}+2x-3-m= 0的解为x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,关于x的方程$x^{2}+2x-3-n= 0的解为x_{3},x_{4}(x_{3}＜x_{4})$,则下列结论正确的是( )

A.$x_{3}＜x_{1}＜x_{2}＜x_{4}$
B.$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$
C.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$
D.$x_{3}＜x_{4}＜x_{1}＜x_{2}$

答案： B 解法一 关于x的方程$x^{2}+2x - 3 - m=0$的解为抛物线$y=x^{2}+2x - 3$与直线$y = m$的交点的横坐标，关于x的方程$x^{2}+2x - 3 - n=0$的解为抛物线$y=x^{2}+2x - 3$与直线$y = n$的交点的横坐标，如图，由图可知，$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$。解法二 抛物线$y=x^{2}+2x - 3 - m$是由抛物线$y=x^{2}+2x - 3$向下平移m个单位长度得到的，抛物线$y=x^{2}+2x - 3 - n$是由抛物线$y=x^{2}+2x - 3$向下平移n个单位长度得到的，如图所示，所以$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$。

12 一题多解[2024 辽宁中考]如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= ax^{2}+bx+3$与x轴相交于点A,B,点B的坐标为$(3,0)$,若点$C(2,3)$在抛物线上,则AB的长为____.

答案： 4 通解 把点B(3,0)，点C(2,3)的坐标分别代入$y=ax^{2}+bx+3$，得$\begin{cases}0 = 9a + 3b + 3\\3 = 4a + 2b + 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$，令$y = 0$，即$0=-x^{2}+2x+3$，解得$x = -1$或$x = 3$，
∴A(-1,0)，
∴$AB = |3 - (-1)| = 4$。巧解
∵点C(2,3)在抛物线上，抛物线与y轴的交点为(0,3)，
∴抛物线的对称轴为直线$x = 1$，
∵B(3,0)，
∴A(-1,0)，
∴AB的长为$|3 - (-1)| = 4$。

13 易错题[2022 大庆中考]已知函数$y= mx^{2}+3mx+m-1$的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为____.

答案： 1或$-\frac{4}{5}$ 当$m = 0$时，$y = -1$，与坐标轴只有一个交点，不符合题意。当$m\neq0$时，
∵函数$y=mx^{2}+3mx+m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点，若一个交点是原点，一个交点在x轴上，则$m - 1 = 0,(3m)^{2}-4m(m - 1)＞0$，解得$m = 1$；若与x,y轴各一个交点，则$\Delta = 0,m\neq0,(3m)^{2}-4m(m - 1)=0$，解得$m = 0$(舍去)或$m=-\frac{4}{5}$。综上所述，m的值为1或$-\frac{4}{5}$。

变式[2022 无锡中考]把二次函数$y= x^{2}+4x+m$的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足的条件是____.

答案： $m＞3$ $y=x^{2}+4x+m=(x + 2)^{2}+m - 4$，则平移后的抛物线的解析式为$y=(x + 2 - 3)^{2}+m - 4 + 1=x^{2}-2x+m - 2$。
∵平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴平移后的抛物线与x轴没有交点，
∴$\Delta = 4 - 4(m - 2)＜0$，解得$m＞3$。

14 [2025 连云港新海初级中学月考]二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,根据图象解答下列问题.

(1)方程$ax^{2}+bx+c= 0$的两个根为____,不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为____;
(2)若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= k$有两个不相等的实数根,则k的取值范围为____;
(3)若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c-t= 0在-1＜x＜3$的范围内有实数根,求t的取值范围.

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=3$ $1＜x＜3$
∵抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为(1,0),(3,0)，
∴方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根为$x_{1}=1,x_{2}=3$。由图象可得，不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$1＜x＜3$。
(2)$k＜2$
∵抛物线的顶点的纵坐标为2，
∴抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与直线$y = 2$只有一个公共点，
∴当$k＜2$时，抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与直线$y = k$有两个公共点，即方程$ax^{2}+bx+c=k$有两个不相等的实数根，
∴满足条件的k的取值范围为$k＜2$。
(3)设抛物线的解析式为$y=a(x - 2)^{2}+2$，把(1,0)代入，得$0 = a + 2$，
∴$a = -2$，
∴$y=-2(x - 2)^{2}+2$，
∴$ax^{2}+bx+c - t=0$化为$t=-2(x - 2)^{2}+2$。当$x = -1$时，$t=-2×(-1 - 2)^{2}+2=-16$，当$x = 2$时，$t = 2$，当$x = 3$时，$t=-2×(3 - 2)^{2}+2=0$，
∴$-16＜t\leq2$。

15 几何直观[2025 淄博临淄区期中]已知二次函数$y= -x^{2}+4x+5及一次函数y= -x+b$,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线$y= -x+b$与新图象有4个交点时,b的取值范围是____.

答案： $-\frac{29}{4}＜b＜-1$ 如图，当$y = 0$时，$-x^{2}+4x + 5=0$，解得$x_{1}=-1,x_{2}=5$，则A(-1,0)，B(5,0)。将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为$y=(x + 1)(x - 5)(-1\leq x\leq5)$，即$y=x^{2}-4x - 5(-1\leq x\leq5)$。当直线$y=-x + b$经过点A(-1,0)时，$1 + b = 0$，解得$b = -1$；当直线$y=-x + b$与抛物线$y=x^{2}-4x - 5(-1\leq x\leq5)$有唯一一个公共点时，方程$x^{2}-4x - 5=-x + b$有两个相等的实数根，所以$\Delta=(-3)^{2}+4×(5 + b)=0$，解得$b=-\frac{29}{4}$，所以当直线$y=-x + b$与新图象有4个交点时，b的取值范围为$-\frac{29}{4}＜b＜-1$。