《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

5 一题多解[2022泰安中考]如图,AB是$\odot O$的直径,$∠ACD= ∠CAB$,$AD= 2$,$AC= 4$,则$\odot O$的半径为( )


A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$

答案：
5 D 解法一 如图1,连接BC.
∵AB是直径,
∴$∠ACB = 90^{\circ }.$
∵$∠ACD = ∠CAB,$
∴$\widehat {AD}=\widehat {BC},$
∴$AD = BC = 2.$
在$Rt△ABC$中,$AB=\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=2\sqrt {5},$
∴$\odot O$的半径为$\sqrt {5}.$
解法二 如图2,连接CO并延长CO交$\odot O$于点E,连接AE.
∵$OA = OC,$
∴$∠OAC = ∠OCA.$
∵$∠ACD = ∠CAB,$
∴$∠ACD = ∠ACO,$
∴$\widehat {AD}=\widehat {AE},$
∴$AD = AE = 2.$
∵CE是直径,
∴$∠EAC = 90^{\circ }$.在$Rt△EAC$中,$EC=\sqrt {AE^{2}+AC^{2}}=\sqrt {2^{2}+4^{2}}=2\sqrt {5},$
∴$\odot O$的半径为$\sqrt {5}.$

6 如图,AB为$\odot O$的直径,$AB= AC$,BC,AC分别交$\odot O$于点D,E,连接DE.
(1)求证:$BD= DE= DC$.
(2)若$DE= \sqrt{5}$,$AB= 5$,求AE的长.

答案：
6
(1)证明:如图,连接AD.
∵AB为$\odot O$的直径,
∴$∠ADB = 90^{\circ },$
∴$AD⊥BC.$
又
∵$AB = AC,$
∴$BD = DC,∠BAD = ∠CAD,$
∴$\widehat {BD}=\widehat {DE},$
∴$BD = DE,$
∴$BD = DE = DC.$
(2)解:如图,连接BE.
∵AB为$\odot O$的直径,
∴$∠AEB = 90^{\circ }.$
∵$DE=\sqrt {5},AB = 5,$
∴$DC = BD=\sqrt {5},AC = 5.$
∴$BC = 2\sqrt {5}.$
设$AE = x$,则$CE = 5 - x,$
∵$AB^{2}-AE^{2}=BC^{2}-CE^{2},$
∴$25 - x^{2}=(2\sqrt {5})^{2}-(5 - x)^{2},$
解得$x = 3$,即AE的长为3.

7 新情境[2025连云港东港中学月考]用破损量角器按如图方式测量$∠ABC$的度数,让$∠ABC$的顶点恰好在量角器圆弧上,两边分别经过圆弧上的A,C两点.若点A,C对应的刻度分别为$55^{\circ}$,$135^{\circ}$,则$∠ABC$的度数为____.

答案：
7 $140^{\circ }$ 如图,将图形抽象出来,连接OA,OC,DA,DC.设$\odot O$的直径为EF,由题意可知,$∠AOE = 55^{\circ },∠EOC = 135^{\circ },$
∴$∠AOC = ∠EOC - ∠AOE = 135^{\circ }-55^{\circ }=80^{\circ },$
∴$∠ADC=\frac {1}{2}∠AOC = 40^{\circ }.$
∵$∠ABC + ∠ADC = 180^{\circ },$
∴$∠ABC = 140^{\circ }.$

8 一题多解如图,在$\odot O$中,弦$AC⊥BD$于点E,连接AB,CD,BC,OA,OB,OC,OD.
(1)求证:$∠AOB+∠COD= 180^{\circ}$.
(2)若$AB= 8$,$CD= 6$,求$\odot O$的直径.

答案：
8
(1)证明:证法一 由圆周角定理,得$∠AOB = 2∠ACB,∠COD = 2∠CBD.$
∵$AC⊥BD,$
∴$∠BEC = 90^{\circ },$
∴$∠ACB + ∠CBD = 90^{\circ },$
∴$∠AOB + ∠COD = 2(∠ACB + ∠CBD)=180^{\circ }.$
证法二 如图,延长BO交$\odot O$于点F,连接DF,AD.
∵BF是$\odot O$的直径,
∴$∠BDF = 90^{\circ },$
∴$DF⊥BD.$
∵$AC⊥BD,$
∴$AC// DF,$
∴$∠CAD = ∠ADF,$
∴$\widehat {AF}=\widehat {CD},$
∴$∠COD = ∠AOF.$
∵$∠AOB + ∠AOF = 180^{\circ },$
∴$∠AOB + ∠COD = 180^{\circ }.$
(2)解:如图,连接AF.
由
(1)知$∠AOF = ∠COD,$
∴$\widehat {AF}=\widehat {CD},$
∴$AF = CD = 6.$
∵BF是$\odot O$的直径,
∴$∠BAF = 90^{\circ },$
∴在$Rt△ABF$中,$BF=\sqrt {AB^{2}+AF^{2}}=\sqrt {8^{2}+6^{2}}=10,$
∴$\odot O$的直径为10.

9 [2024北京石景山区期末]如图,E是正方形ABCD内一点,满足$∠AEB= 90^{\circ}$,连接CE,若$AB= 2$,则CE长的最小值为____.

答案：
9 $\sqrt {5}-1$ 解题思路:本题首先找到点E的运动轨迹,结合圆的性质得到CE最小时的情形.
如图,
∵$∠AEB = 90^{\circ },$
∴点E在以AB中点O为圆心,AB为直径的圆上,则CE的长最小时,点O,E,C三点共线,连接OC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴$AB = BC = 2,∠ABC = 90^{\circ }$,在$Rt△BCO$中,$OB = 1$,由勾股定理得$OC=\sqrt {5},$
∴$CE=\sqrt {5}-1.$