《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2024哈尔滨呼兰区期中]在△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为8,当△ABC面积最大时,BC的长为 ( )

A.4
B.8
C.2
D.无法确定

答案： A 设BC=x,则△ABC的BC边上的高为(8-x).设△ABC面积为S,则$ S=\frac{1}{2}x(8-x)=-\frac{1}{2}(x-4)^2+8 $,
∴当x=4,即BC=4时,S有最大值8.

2 教材P56T1变式 如图所示是一个长20m、宽16m的矩形花园,根据需要将它的长缩短xm,宽增加xm,要想使重修后的花园面积达到最大,则x应为 ( )


A.1
B.1.5
C.2
D.4

答案： C 设重修后的花园面积为$ S\ \text{m}^2 $,由题意可得$ S=(20-x)(16+x)=-(x-2)^2+324 $.
∵-1＜0,
∴S有最大值,即当x=2时,S取得最大值.

3 如图,利用一个直角墙角修建一个DC//AB的四边形储料场ABCD,其中∠C= 120°,若新建墙BC与CD的总长为12m,则该储料场ABCD的最大面积是 ( )

$A. 18m^2 B. 18√3 m^2$
$C. 24√3 m^2 D. 25√3/2 m^2$

答案：
C 如图,过点C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形,
∴CD=AE,$ \angle DCE=\angle CEB=90^\circ $.设$ CD=AE=x\ \text{m} $,则$ \angle BCE=\angle BCD-\angle DCE=30^\circ $,$ BC=(12-x)\ \text{m} $.在Rt△CBE中,$ \angle CEB=90^\circ $,
∴$ BE=\frac{1}{2}BC=(6-\frac{1}{2}x)\ \text{m} $,
∴$ AD=CE= \sqrt{BC^2 - BE^2}=\sqrt{3}BE=(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)\ \text{m} $,$ AB=AE+BE=x+6-\frac{1}{2}x=(\frac{1}{2}x+6)\ \text{m} $.设梯形ABCD的面积为$ S\ \text{m}^2 $,则$ S=\frac{1}{2}(CD+AB)\cdot CE=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}x+6)(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)=-\frac{3\sqrt{3}}{8}x^2+3\sqrt{3}x+18\sqrt{3}=-\frac{3\sqrt{3}}{8}(x-4)^2+24\sqrt{3} $,
∵$ -\frac{3\sqrt{3}}{8}＜0 $,
∴当x=4时,$ S_{\text{最大}}=24\sqrt{3} $,即CD长为4m时,梯形储料场ABCD的面积最大,为$ 24\sqrt{3}\ \text{m}^2 $.
　　　　　　　　

4 [2025成都嘉祥外国语学校月考]如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为14m,则篱笆围成的矩形面积最大为$______m^2.$

答案： 49 设围成的矩形ABCD的一边长是x m,则其邻边长为(14-x)m,设矩形的面积为$ S\ \text{m}^2 $,则$ S=x(14-x)=-x^2+14x=-(x-7)^2+49 $.
∵二次项系数为-1＜0,
∴当x=7时,S有最大值,最大值为49.

5 教材P57T7变式 [2025徐州期中]某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地,如图所示,已知矩形菜地的一面靠墙(墙的最大可用长度为20m),其余用长为39m的篱笆围成,菜地靠前的边上预留了一个宽为1m的小门(小门不用篱笆).
(1)设菜地的边AB为xm,则AD= ______m. (用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时,围成的菜地面积最大?

答案：
(1)(40-2x)
∵菜地是矩形,
∴AD=BC,AB=CD.设菜地的边AB=x m,则$ AD=(39-2x)+1=(40-2x)\ \text{m} $.
(2)设围成的菜地面积为$ y\ \text{m}^2 $,根据题意,得$ y=(40-2x)\cdot x=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200 $,
∵墙的最大可用长度为20 m,
∴$ 0＜40-2x\leqslant20 $,解得$ 10\leqslant x＜20 $,
∵-2＜0,
∴当x=10时,$ y=-2(x-10)^2+200 $有最大值.
答:当x=10时,围成的菜地面积最大.

6 如图,在矩形ABCD中,AB= 6cm,BC= 12cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度运动,当其中一点运动至终点时,另一点也随之停止运动.设运动ts后,五边形APQCD的面积为$Scm^2,$写出S与t之间的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.t为何值时,S最小? 最小值是多少?

答案： 解:由题意知,$ AP=t\ \text{cm} $,$ BQ=2t\ \text{cm} $,故$ PB=(6-t)\ \text{cm} $,设△PBQ的面积为$ S_1\ \text{cm}^2 $,矩形ABCD的面积为$ S_2\ \text{cm}^2 $,则$ S_1=\frac{1}{2}\cdot(6-t)\cdot2t=-t^2+6t $,$ S_2=6×12=72 $,
∴$ S=S_2-S_1=t^2-6t+72 $.自变量t的取值范围为0＜t＜6.
∵$ S=t^2-6t+72=(t-3)^2+63(0＜t＜6) $,
∴当t=3时,S取得最小值63.