《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2025北京房山区期末]将二次函数$y= x^{2}+6x-2化成y= a(x-h)^{2}+k$的形式为( )

A.$y= (x+3)^{2}+7$
B.$y= (x-3)^{2}+11$
C.$y= (x+3)^{2}-11$
D.$y= (x+2)^{2}+4$

答案： C $ y=x^{2}+6x - 2=x^{2}+6x + 9 - 9 - 2=(x + 3)^{2}-11 $.

2 [一题多解[2025杭州余杭区期中]将二次函数$y= 3x^{2}-18x+29$的图象先向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到一个新的二次函数解析式是( )

A.$y= 3(x-7)^{2}-1$
B.$y= 3(x-7)^{2}+5$
C.$y= 3(x+1)^{2}-1$
D.$y= 3(x+1)^{2}+5$

答案： C 解法一(根据顶点的平移) 将二次函数 $ y=3x^{2}-18x + 29=3(x - 3)^{2}+2 $ 的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到一个新的二次函数解析式是 $ y=3(x - 3 + 4)^{2}+2 - 3 $，即 $ y=3(x + 1)^{2}-1 $.
解法二(根据平移规律) 将二次函数 $ y=3x^{2}-18x + 29 $ 的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到一个新的二次函数解析式是 $ y=3(x + 4)^{2}-18(x + 4)+29 - 3=3x^{2}+6x + 2=3(x + 1)^{2}-1 $.
解题通法
抛物线平移后确定解析式的方法
(1)方法一:根据顶点变化确定抛物线的解析式.
①根据平移变换不改变抛物线的开口方向和大小，可知平移后二次函数的二次项系数a的值不变，从而设出平移后抛物线的解析式为 $ y=a(x - h)^{2}+k $.
②根据平移方式确定平移后顶点的坐标，即确定h,k的值，代入 $ y=a(x - h)^{2}+k $ 即可.
(2)方法二:根据平移规律"左加右减，上加下减"确定解析式.
平移前抛物线的解析式 平移n个单位长度(n＞0) 平移后抛物线的解析式
$ y=ax^{2}+bx+c $ 向左 $ y=a(x + n)^{2}+b(x + n)+c $
$ y=ax^{2}+bx+c $ 向右 $ y=a(x - n)^{2}+b(x - n)+c $
$ y=ax^{2}+bx+c $ 向上 $ y=ax^{2}+bx+c + n $
$ y=ax^{2}+bx+c $ 向下 $ y=ax^{2}+bx+c - n $

3 [2025怀化五县六校联考]若二次函数$y= x^{2}+mx-3的图象的对称轴是直线x= 1$,则m的值为( )

A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： A
∵二次函数 $ y=x^{2}+mx - 3 $ 的图象的对称轴是直线 $ x=1 $，
∴ $ x=-\frac{m}{2×1}=1 $，解得 $ m=-2 $.

4 [2022兰州中考]已知二次函数$y= 2x^{2}-4x+5$,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是( )

A.$x＜1$
B.$x＞1$
C.$x＜2$
D.$x＞2$

答案： B
∵ $ y=2x^{2}-4x + 5=2(x - 1)^{2}+3 $，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 $ x=1 $，
∴当 $ x＞1 $ 时，函数值y随x值的增大而增大.

5 [2024连云港赣榆区期末]已知$A(-1,y_{1})$,$B(2,y_{2})$,$C(4,y_{3})是二次函数y= ax^{2}-2ax+1(a＜0)$的图象上的三个点,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为( )

A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
D.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$

答案： D 二次函数 $ y=ax^{2}-2ax + 1 $ 的图象的对称轴为直线 $ x=-\frac{-2a}{2a}=1 $.
∵ $ a＜0 $，
∴抛物线开口向下.
∵点A,B,C到对称轴的距离分别为2,1,3，
∴ $ y_{3}＜y_{1}＜y_{2} $.

6 [2023大连中考]已知抛物线$y= x^{2}-2x-1$,则当$0≤x≤3$时,函数的最大值为( )

A.-2
B.-1
C.0
D.2

答案： D 解题思路:抛物线的顶点坐标为(1,-2)，顶点横坐标在自变量的取值范围内，故在顶点处取最小值，在边界处取最大值，只需将两个边界点的横坐标代入抛物线解析式中，即可求出函数的最大值.
∵ $ y=x^{2}-2x - 1=(x - 1)^{2}-2 $，
∴抛物线的对称轴为直线 $ x=1 $.
∵ $ a=1＞0 $，
∴抛物线开口向上，
∴当 $ 0\leqslant x＜1 $ 时，y随x的增大而减小，当 $ x=0 $ 时， $ y=-1 $;当 $ x=1 $ 时，y取最小值-2;当 $ 1＜x\leqslant3 $ 时，y随x的增大而增大，当 $ x=3 $ 时， $ y=9 - 6 - 1=2 $.即当 $ 0\leqslant x\leqslant3 $ 时，函数的最大值为2.

7 [2025赤峰松山区期中]已知抛物线$y= ax^{2}+4x+m与抛物线y= -2x^{2}$的形状、开口方向相同,且该抛物线最高点的纵坐标为1,则该抛物线的解析式为( )

A.$y= -2x^{2}+4x-2$
B.$y= 2x^{2}+4x+1$
C.$y= 2x^{2}+4x+2$
D.$y= -2x^{2}+4x-1$

答案： D
∵抛物线 $ y=ax^{2}+4x + m $ 与抛物线 $ y=-2x^{2} $ 的形状、开口方向相同，
∴ $ a=-2 $，
∴ $ y=-2x^{2}+4x + m $，
∵该抛物线最高点的纵坐标为1，
∴ $ -2×1 + 4×1 + m=1 $(最高点的横坐标为1)，解得 $ m=-1 $，
∴抛物线的解析式为 $ y=-2x^{2}+4x - 1 $.

8 [2025杭州萧山区期中]如图,已知二次函数$y= x^{2}+2x+c的图象经过点A(1,-2)$.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)自变量x在什么范围内,y随x的增大而减小？
(3)当$y≤-2$时,请根据图象直接写出x的取值范围.

答案： 解:
(1)把点A(1,-2)的坐标代入 $ y=x^{2}+2x + c $，得 $ -2=1 + 2 + c $，
∴ $ c=-5 $，
∴二次函数的解析式为 $ y=x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6 $，
∴顶点坐标为(-1,-6).
(2)
∵该抛物线的对称轴为直线 $ x=-1 $，且开口向上，
∴当 $ x＜-1 $ 时，y随x的增大而减小.
(3)x的取值范围为 $ -3\leqslant x\leqslant1 $.
由二次函数图象的对称性可知点A(1,-2)关于对称轴的对称点为(-3,-2)，
∴当 $ y\leqslant-2 $ 时，x的取值范围为 $ -3\leqslant x\leqslant1 $.

9 [2023株洲中考]如图,直线l为二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象的对称轴,则下列说法正确的是( )

A.b恒大于0
B.a,b同号
C.a,b异号
D.以上说法都不对

答案： C
∵直线l为二次函数 $ y=ax^{2}+bx+c(a\neq0) $ 的图象的对称轴，
∴对称轴为直线 $ x=-\frac{b}{2a}＞0 $.当 $ a＜0 $ 时， $ b＞0 $;当 $ a＞0 $ 时， $ b＜0 $，
∴a,b异号.

10 [新趋势·结论开放[2023上海中考]一个二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是____.

答案： $ y=-x^{2}+1 $(答案不唯一) 由题意得， $ b=0,a＜0,c＞0 $，所以这个二次函数的解析式可以是 $ y=-x^{2}+1 $.