《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

3 [2025德阳什邡中学期中](1)在正方形$ABCD$中,$E是CD$边上一点.将$\triangle ADE绕点A顺时针旋转90^{\circ}得到\triangle ABF$,如图1所示,观察可知,与$DE$相等的线段是____,与$\angle AFB$相等的角是____；
(2)如图2,在正方形$ABCD$中,$P$,$Q分别是BC$,$CD$边上的点,且$\angle PAQ = 45^{\circ}$,猜想线段$DQ$,$BP$,$PQ$间的数量关系,并证明；
(3)在图2中,连接$BD分别交AP$,$AQ于点M$,$N$,请写出$BM$,$DN$,$MN$间的数量关系,并说明理由.

答案：
解:
(1)BF ∠AED
(2)DQ+BP=PQ.证明如下:
如图1,将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,则∠D=∠ABE=90°.
∵∠ABP=90°,
∴∠ABE+∠ABP=180°,
∴点E,B,P共线.
由旋转的性质,知∠EAQ=∠BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ.
∵∠PAQ=45°,
∴∠PAE=45°,
在△APE和△APQ中，{AE=AQ,∠PAE=∠PAQ,AP=AP}
∴△APE≌△APQ(SAS),
∴PE=PQ,
∵PE=PB+BE=PB+DQ,
∴DQ+BP=PQ.


(3)BM²+DN²=MN².理由如下:
如图2,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABK,连接KM.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°.
由旋转的性质,得∠NAK=90°,∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN.
∵∠PAQ=45°,
∴∠MAK=45°,
∴∠PAQ=∠MAK;
在△AMN和△AMK中,{AN=AK,∠NAM=∠KAM,AM=AM}
∴△AMN≌△AMK(SAS),
∴MN=MK.
∵∠MBA+∠KBA=90°,
∴△BMK为直角三角形，
∴BM²+BK²=MK²,
∴BM²+DN²=MN².

4 [2024梅州期中](1)如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D$,$E为BC$上两点,且$\angle DAE = 45^{\circ}$.求证：$BD^{2} + CE^{2} = DE^{2}$.
(2)如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB = 120^{\circ}$,$AB = AC$,$\angle DAE = 60^{\circ}$,若以$BD$,$DE$,$EC为边的三角形是以BD$为斜边的直角三角形,当$BD = 2$时,求$DE$的长.

答案：
解题思路:要证明BD²+CE²=DE²，该等式看起来是勾股定理的形式，故需将BD,CE,DE三条线段放置到同一个三角形中，再证明这个三角形是直角三角形即可，而旋转是全等变换，故可以通过旋转将零散的线段变换到规则图形中
(1)证明:如图1,把△ACE绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连接DG,
则△ACE≌△ABG,
∴AG=AE,BG=CE,∠ABG=∠ACE.
∵∠GAE=90°,∠DAE=45°,
∴∠GAD=∠DAE=45°.
在△ADG和△ADE中,{AG=AE,∠GAD=∠EAD,AD=AD}
∴△ADG≌△ADE(SAS),
∴ED=GD.
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE+∠ABC=90°,
∴∠ABG+∠ABC=90°,
∴∠GBD=90°,
∴BD²+BG²=DG²,即BD²+CE²=DE².


(2)解:如图2,将△AEC绕点A顺时针旋转120°,得到△AFB,连接DF,
则△AEC≌△AFB,
∴AF=AE,∠ABF=∠ACB,EC=BF,∠EAF=120°.
∵∠CAB=120°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=∠ABF=30°,
∴∠FBD=60°.
∵∠EAF=120°,∠EAD=60°,
∴∠DAE=∠DAF=60°,
又AE=AF,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(SAS),
∴DF=DE.
∵以BD,DE,EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形，
∴以BD,DF,BF为边的三角形是直角三角形，且BD是斜边，
∴△BDF是直角三角形,∠BFD=90°,
∵∠FBD=60°,
∴∠FDB=30°,
∴BD=2BF=2EC=2,
∴BF=EC=1,
∴DE=DF=√(BD² - BF²)=√3;