《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

9 [2024天津和平区期中]如图,AB是⊙O的直径,分别以点O和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}OB$的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,直线MN与⊙O相交于C,D两点.若$AB= 4$,则CD的长为 ( )


A.$4\sqrt{3}$
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案：
C 如图，连接OC．设AB和CD交于点P，由作图可知CD垂直平分OB，
∵ AB=4，
∴$OP=\frac{1}{OB}=\frac{1}{AB}=1$，$OC=\frac{1}{AB}=2$，
∴$CP=\sqrt{OC^{2}-OP^{z}}=\sqrt{2^{z}-1^{z}}=\sqrt{3}$。
∵ CD⊥OB，
∴$CD=2CP=2\sqrt{3}$。

10 [2025济宁期中]已知⊙O的半径为2,点P为⊙O内一定点,且$PO= 1$.过点P作⊙O的弦,其中最短的弦的长度是 ( )

A.4
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.2

答案：
C 解题思路:当过点P的弦与OP垂直时，弦长最短，连接OA，利用垂径定理得到P为AB的中点，在Rt△AOP中，利用勾股定理求出AP的长，进而求出AB的长。如图，当过点P的弦与OP垂直时，弦长最短，此时AP=BP，连接OA。在Rt△AOP中，OA=2，OP=1，
∴$AP=\sqrt{OA^{2}-OP^{2}}=\sqrt{3}$，
∴$AB=2\sqrt{3}$，
∴ 最短的弦长度是$2\sqrt{3}$。

变式 如图,在⊙O中,弦$AB= 6$,点C在弦AB上移动,连接OC,过点C作$CD⊥OC$交⊙O于点D,则CD的最大值为 ( )


A.$3\sqrt{2}$
B.3
C.6
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

答案：
B 如图，连接OD。
∵ OD为⊙O的半径，OC⊥CD，
∴$CD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}$，
∴ 要使CD最大，OC必须最小(OD的长度为定值)。
∵ C是弦AB上一点，
∴ 当OC⊥AB时，OC最短(垂线段最短)，即此时点D与点B(或点A)重合，即CD的最大值是$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。

11 [2024北京四十三中期中]如图,桥拱可以近似地看作直径为250 m的圆弧,桥拱和水平路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB的长为150 m,那么这些钢索中经过桥拱最高点的一根的长度为 ( )


A.50 m
B.40 m
C.30 m
D.25 m

答案：
D 如图，设圆弧所在圆的圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，交$\overset{\frown}{AB}$于点D，连接OA，则$OA=OD=\frac{1}{2}×250=125$(m)．$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×150=75$(m)，
∴$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{125^{2}-75^{2}}=100$(m)，
∴ CD=OD - OC=125 - 100=25(m)，故这些钢索中经过桥拱最高点的一根的长度为25 m。

12 [2025金华金东区期中]如图,在⊙O内有折线OABC,点B,C在⊙O上.若$OA= 4$,$BC= 10$,$∠A= ∠B= 60^{\circ}$,则AB的长为 ( )


A.4
B.5
C.6
D.7

答案：
C 解题思路:由$\angle A=\angle B=60^{\circ}$，可联想到延长AO到BC构造等边三角形，得到60°角，再过点O作BC的垂线，得到含30°角的直角三角形，进而根据垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求解。如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E，设AB=x。
∵$\angle A=\angle B=60^{\circ}$，
∴$\angle ADB=60^{\circ}$，
∴ △ADB为等边三角形，
∴ BD=AD=AB=x。
∵ BC=10，OE⊥BC，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=5$，
∴ DE=x - 5。
∵ OA=4，
∴ OD=x - 4。
∵ OE⊥BC，$\angle ADB=60^{\circ}$．
∴$\angle DOE=30^{\circ}$，
∴$DE=\frac{1}{2}OD$(30°角所对的直角边等于斜边的一半)，即$x - 5=\frac{1}{2}(x - 4)$，解得x=6。即AB=6。

13 新情境[2024吕梁期中]只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽$MN= 7$ cm,$AB= 6$ cm,$CD= 8$ cm.则纸杯的直径为______cm.

答案：
10 如图，MN⊥AB．MN过圆心O，连接OD，OB。
∵ MN=7 cm，CD//AB，
∴ MN⊥CD，$DM=\frac{1}{2}CD=4$ cm，$BN=\frac{1}{2}AB=3$ cm。设OM=x cm，则ON=MN - OM=(7 - x)cm。
∵$OM^{2}+MD^{2}=OD^{2}$，$ON^{2}+BN^{2}=OB^{2}$，
∴$OM^{2}+MD^{2}=ON^{2}+BN^{2}$，
∴$x^{2}+4^{2}=(7 - x)^{2}+3^{2}$．
∴ x=3，
∴ OM=3 cm，
∴ OD=5 cm，
∴ 纸杯直径为$5×2=10$(cm)。

14 如图,在平面直角坐标系中,直径为10的⊙E交x轴于点A,B,交y轴于点C,D,且点A,B的坐标分别为(-2,0),(4,0),则圆心E的坐标为______.

答案：
(1,4).如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接EB，则AM=BM。
∵ A(-2,0)，B(4,0)，
∴ AB=6，
∴ AM=BM=3，
∴ OM=1。
∵ ⊙E的直径为10，
∴ BE=5。在Rt△BME中，由勾股定理，得$EM=\sqrt{BE^{2}-BM^{2}}=4$，
∴ 圆心E坐标为(1,4)。

15 一题多解 如图,在⊙O中,DE是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB的中点C在直径DE上,$AB= 8$,$CD= 2$.
(1)求⊙O的面积;
(2)连接AE,过圆心O向AE作垂线,垂足为点F,求OF的长.

答案：

(1)如图，连接OA。
∵ DE是⊙O的直径，点C为AB的中点，AB=8，
∴ DE⊥AB，$AC=\frac{1}{2}AB=4$。设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中，由勾股定理，得$(r - 2)^{2}+4^{2}=r^{2}$，
∴ r=5，
∴ ⊙O的面积=$\pi r^{2}=25\pi$。
(2)解法一 如图，连接AD。由
(1)知DE⊥AB，AC=4，
∴ 在Rt△ACD中，$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$。
∵ OA=OE，OF⊥AE，
∴ AF=EF．又
∵ OE=OD，
∴ OF是△ADE的中位线，
∴$OF=\frac{1}{2}AD=\sqrt{5}$。解法二 由
(1)知OD=OE=5，
∴ OC=OD - CD=3，
∴ EC=OE+OC=8。在Rt△ACE中，$AE=\sqrt{AC^{2}+EC^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}$。
∵ OF⊥AE，
∴$EF=\frac{1}{2}AE=2\sqrt{5}$。在Rt△OEF中，$OF=\sqrt{OE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5}$。

16 推理能力[2022荆州中考]如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高$AB= 20$ cm,底面直径$BC= 12$ cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为______cm.(玻璃瓶厚度忽略不计)

答案：
7.5 如图，设球心为点O，过点O作OM⊥AD于点M，连接OA。设球的半径为r cm，由题意，得AD=12 cm，OM=32 - 20 - r=(12 - r)cm。由垂径定理，得$AM=DM=\frac{1}{2}AD=6$ cm。在Rt△OAM中，由勾股定理，得$AM^{2}+OM^{2}=OA^{2}$，即$6^{2}+(12 - r)^{2}=r^{2}$，解得r=7.5，即球半径为7.5 cm。