《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2025 江门鹤山期中]活动①:下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),猜想其中哪个积最大,并说明理由.
$91×99,92×98,93×97,...,97×93,98×92,99×91.$
解题思路:$95×95$的积最大. 理由如下:
设两个乘数的积为$y$,其中一个乘数的个位上的数为$x$,则另一个乘数个位上的数为$(10 - x)$,根据题意,得$y= (90 + x)[90 + (10 - x)]= (90 + x)(100 - x)= $____.($x = 1,2,3,...,9$)
$\because$____,$\therefore当x = $____时,$y$有最大值,所以$95×95$的值最大.
活动②:下列两个三位数相乘的运算中(两个乘数的百位上的数都是7,后两位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积最大,并说明理由.
$701×799,702×798,703×797,...,797×703,798×702,799×701.$
(1)对于活动①,请在横线上补全“解题思路”;
(2)对于活动②,请你参照上述方法,提出猜想,并尝试用建立二次函数模型的方法证明你的猜想.

答案：
(1)$-x^{2}+10x+9000$ -1＜0 5
(2)猜想:750×750的值最大.
理由:设两个乘数的积为y,其中一个乘数的后两位上的数为x,则另一个乘数后两位上的数为(100-x),
根据题意,得$y=(700+x)[700+(100-x)]=-x^{2}+100x+560000.$
∵二次项系数为-1,-1＜0,
∴当$x=-\frac {100}{2×(-1)}=50$时,y有最大值,
∴750×750的值最大.

2 [2025 大连汇文中学月考]【提出问题】
如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标是(-1,-2)$,在$x轴上任取一点M$,完成以下操作步骤:
①连接$AM$,作线段$AM的垂直平分线l_{1}$,过点$M作x轴的垂线l_{2}$,记$l_{1},l_{2}的交点为P$.

②在$x轴上多次改变点M$的位置,用①的方法得到相应的点$P$,把这些点用平滑的曲线连接起来. 观察画出的曲线$L$,猜想它是我们学过的哪种曲线.
【观察实验】
某数学兴趣小组发现在$x轴上取几个特殊位置的点M$,可以求出相对应的点$P$的坐标.
例如:取点$M(-1,0)$,则点$P$的坐标为____;取点$M(4,0)$,过点$P作直线x = -1$的垂线,垂足为$B$,连接$AP,AB$.$\therefore P(4,y)$,$\therefore PM = -y$.
在$Rt△PAB$中,根据勾股定理,得$PA^{2}= PB^{2}+AB^{2}= 25 + (-2 - y)^{2}$(用含$y$的代数式表示).
$\because P在AM$的垂直平分线上,
$\therefore PM = PA$,$\therefore PM^{2}= PA^{2}$,
即$(-y)^{2}= 25 + (-2 - y)^{2}$,解得$y = -\frac{29}{4}$,
$\therefore P(4,-\frac{29}{4})$.
【解决问题】
(1)请帮忙完成以上填空;
(2)在$x轴上多次改变点M$的位置,按上述作图方法得到相应点$P$的坐标,并填表;
|点$M$的坐标|…|$(-4,0)$|$(-3,0)$|$(-1,0)$|$(1,0)$|$(3,0)$|$(4,0)$|…|
|点$P$的坐标|…|$(-4,____)$|$(-3,-2)$|$(-1,-1)$|$(1,____)$|$(2,-5)$|$(4,-\frac{29}{4})$|…|
(3)请你帮该数学兴趣小组求出点$P(x,y)所在曲线L$的解析式;($x,y$满足的函数解析式)
(4)兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制,若$M点只能在-7 ＜ x ＜ 6$的范围内移动,则$y$的取值范围是____;
【拓展提升】
(5)若点$A(e,d)(d ＜ 0)$,猜想曲线$L$的最高点的坐标为____,说明理由.

答案： 【解析】：
（1）当$M(-1,0)$时，$AM$垂直平分线与过$M$作$x$轴的垂线交点$P$。
由于$A(-1,-2)$，$M(-1,0)$，$AM$垂直平分线为$y=-1$，
过$M$作$x$轴的垂线为$x=-1$，
所以$l_1,l_2$的交点$P$的坐标为$(-1,-1)$。
故答案为$(-1,-1)$。
（2）设$P(x,y)$，
当$M(-4,0)$时，过$P$作$PB \bot AM$交$x$轴于$B$，
$PB=x+4$，$AB=2$，
在$Rt \bigtriangleup ABP$中，$PA^2=PB^2+AB^2=(x+4)^2+2^2$，
又因为$PM=PA$，$PM=-y$，
所以$(-y)^2=(x+4)^2+2^2$，
当$x=-4$时，$y^2=4$，
因为$P$在$AM$的垂直平分线上，$P$在$AM$下方，
所以$y＞0$舍去，即$y=-2$，
所以$P(-4,-2)$；
当$M(1,0)$时，过$P$作$PB \bot AM$交$x$轴于$B$，
$PB=1-x$，$AB=2$，
在$Rt \bigtriangleup ABP$中，$PA^2=PB^2+AB^2=(1-x)^2+2^2$，
又因为$PM=PA$，$PM=-y$，
所以$(-y)^2=(1-x)^2+2^2$，
当$x=1$时，$y^2=4$，
因为$P$在$AM$的垂直平分线上，$P$在$AM$下方，
所以$y＞0$舍去，即$y=-\frac{5}{4}$，
所以$P(1,-\frac{5}{4})$。
故答案为$-2$；$-\frac{5}{4}$。
（3）因为$P(x,y)$，$M(x,0)$，$A(-1,-2)$，
所以$PM=-y$，
$PA=\sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2}$，
因为$PM=PA$，
所以$(-y)^2=(x+1)^2+(y+2)^2$，
整理，得$y=-\frac{1}{4}(x+1)^2-1$。
所以点$P(x,y)$所在曲线$L$的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x+1)^2-1$。
（4）因为$y=-\frac{1}{4}(x+1)^2-1$，
所以抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$，开口向下，
当$M$点只能在$-7 \lt x \lt 6$的范围内移动时，
$x=-7$时，$y=-\frac{1}{4} × (-7+1)^2-1=-10$，
$x=6$时，$y=-\frac{1}{4} × (6+1)^2-1=-\frac{53}{4}$，
因为$-10 \gt -\frac{53}{4}$，
所以$y$的取值范围是$-10 \lt y \leq -1$。
（5）若点$A(e,d)(d \lt 0)$，
设曲线$L$解析式为$y=a(x-e)^2+\frac{d}{2}$，
因为$P(x,y)$，$M(x,0)$，$A(e,d)$，
所以$PM=-y$，
$PA=\sqrt{(x-e)^2+(y-d)^2}$，
又因为$PM=PA$，
所以$(-y)^2=(x-e)^2+(y-d)^2$，
将$y=a(x-e)^2+\frac{d}{2}$代入上式并整理得，
$a(x-e)^2(a(x-e)^2+2a × d+1)=0$，
因为$a \neq 0$，
所以$a(x-e)^2+2a × d+1=0$，
即$(x-e)^2=-\frac{1+2ad}{2a}$，
当$a=-\frac{1}{2d}$时，$(x-e)^2 \geq 0$恒成立，
所以$y=-\frac{1}{2d}(x-e)^2+\frac{d}{2}$，
所以当$x=e$时，$y$有最大值为$\frac{d}{2}$，
所以曲线$L$的最高点的坐标为$(e,\frac{d}{2})$。
【答案】：
（1）$(-1,-1)$
（2）$-2$；$-\frac{5}{4}$
（3）$y=-\frac{1}{4}(x+1)^2-1$
（4）$-10 \lt y \leq -1$
（5）$(e,\frac{d}{2})$