《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2024上海中考]以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )

A.$x^{2}-6x= 0$
B.$x^{2}-9= 0$
C.$x^{2}-6x+6= 0$
D.$x^{2}-6x+9= 0$

答案： D $\Delta=(-6)^2 - 4×1×0 = 36 ＞ 0$,该方程有两个不相等的实数根,故A选项不符合题意;$\Delta=0^2 - 4×1×(-9) = 36 ＞ 0$,该方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意;$\Delta=(-6)^2 - 4×1×6 = 12 ＞ 0$,该方程有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意;$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9 = 0$,该方程有两个相等的实数根，故D选项符合题意.

2 [2023广安中考]已知a,b,c为常数,点$P(a,$c)在第四象限,则关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0$的根的情况是 ( )

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

答案： A
∵点$P(a,c)$在第四象限,
∴$a ＞ 0$,$c ＜ 0$,
∴$ac ＜ 0$,
∴方程$ax^2 + bx + c = 0$的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$,
∴方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个不相等的实数根.

3 [2024兰州中考]关于x的一元二次方程$9x^{2}-$ $6x+c= 0$有两个相等的实数根,则$c= $ ( )

A.-9
B.4
C.-1
D.1

答案： D
∵关于$x$的一元二次方程$9x^2 - 6x + c = 0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(-6)^2 - 4×9×c = 36 - 36c = 0$,解得$c = 1$.

4 [2024黑龙江龙东地区中考]关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有两个实数根,则m的取值范围是 ( )

A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4且m≠2$
D.$m≤4且m≠2$

答案： D
∵关于$x$的一元二次方程$(m - 2)x^2 + 4x + 2 = 0$有两个实数根，
∴$m - 2 ≠ 0$且$\Delta≥0$,即$4^2 - 4×(m - 2)×2≥0$,解得$m≤4$,
∴$m$的取值范围是$m≤4$且$m≠2$.

5 [2023岳阳中考]已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}= 2$,则实数$m= $ _ .

答案： 3 解题思路:先根据根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -2m$,$x_1·x_2 = m^2 - m + 2$,结合$x_1 + x_2 + x_1·x_2 = 2$,得到$m = 0$或3,此时需要结合$\Delta＞0$，确定$m$的取值.特别提醒:做题时要特别注意运用根与系数的关系时，要保证方程有根.
∵$x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$的两个实数根，
∴$x_1 + x_2 = -2m$,$x_1·x_2 = m^2 - m + 2$.
∵$x_1 + x_2 + x_1·x_2 = 2$,
∴$-2m + m^2 - m + 2 = 2$,解得$m_1 = 0$,$m_2 = 3$.
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=(2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2)＞0$,
∴$m ＞ 2$,
∴实数$m$的值为3.

6 [2023襄阳中考]关于x的一元二次方程$x^{2}+$ $2x+3-k= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两个根为α,β,且$k^{2}= αβ+3k$,求k的值.

答案：
(1)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(3 - k) = -8 + 4k ＞ 0$,解得$k ＞ 2$.
(2)
∵方程的两个根为$\alpha$,$\beta$,$\therefore\alpha\beta=\frac{c}{a}=3 - k$,
∴$k^2 = 3 - k + 3k$,解得$k_1 = 3$,$k_2 = -1$(舍去).综上，$k$的值为3.

7 已知平行四边形ABCD的两边AB,BC的长是关于x的方程$x^{2}-(m+3)x+2m+2= 0$的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形? 求出这时菱形的边长.
(2)若AB的长为3,则平行四边形ABCD的周长是多少?

答案：
(1)因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC$.因为$AB$,$BC$的长是关于$x$的方程$x^2 - (m + 3)x + 2m + 2 = 0$的两个实数根，所以$\Delta=[-(m + 3)]^2 - 4(2m + 2) = (m - 1)^2 = 0$,所以$m = 1$,所以原方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$,解得$x_1 = x_2 = 2$.故当$m = 1$时，四边形$ABCD$是菱形，这时菱形的边长为2.
(2)将$x = 3$代入方程$x^2 - (m + 3)x + 2m + 2 = 0$,得$9 - 3(m + 3) + 2m + 2 = 0$,解得$m = 2$,所以原方程为$x^2 - 5x + 6 = 0$,解得$x_1 = 2$,$x_2 = 3$,所以$BC = 2$,故平行四边形$ABCD$的周长为$2×(2 + 3) = 10$.

8 一题多解 已知关于x的方程$x^{2}-$ $(3k+1)x+2k^{2}+2k= 0.$
(1)求证:无论k取何值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长$a= 6$,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.

答案：
(1)证明:$\Delta=[-(3k + 1)]^2 - 4×1×(2k^2 + 2k) = k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2$,
∵无论$k$取何值，$(k - 1)^2≥0$,$\therefore\Delta≥0$,
∴无论$k$取何值，方程总有实数根.
(2)解法一
∵$\Delta=(k - 1)^2$,
∴$x=\frac{3k + 1\pm|k - 1|}{2}$,$\therefore x_1 = 2k$,$x_2 = k + 1$.
∵$b$,$c$恰好是这个方程的两个实数根，
∴不妨设$b = 2k$,$c = k + 1$,当$a$,$b$为腰长时,$a = b = 6$,$\therefore2k = 6$,$\therefore k = 3$,$\therefore c = 4$,
∴三角形的周长为$6 + 6 + 4 = 16$;当$b$,$c$为腰长时,$k + 1 = 2k$,解得$k = 1$,$\therefore b = c = 2$.$\because2 + 2 ＜ 6$,$\therefore$这种情况不成立;当$a$,$c$为腰长时,$k + 1 = 6$,$\therefore k = 5$,$\therefore b = 10$,
∴三角形的周长为$6 + 6 + 10 = 22$.综上，此三角形的周长为16或22.解法二 当$a$为底边长时,$b$,$c$为腰长，则方程有两个相等的实数根.$\therefore\Delta=(k - 1)^2 = 0$,$\therefore k = 1$,$\therefore$原方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$,解得$x_1 = x_2 = 2$,$\therefore b = c = 2$.$\because2 + 2 ＜ 6$,$\therefore$这种情况不成立.当$a$为腰长时,$b = 6$或$c = 6$,即方程的一个实数根是$x = 6$,把$x = 6$代入，得$36 - 6(3k + 1) + 2k^2 + 2k = 0$,解得$k = 3$或$k = 5$,当$k = 3$时，原方程为$x^2 - 10x + 24 = 0$,解得$x_1 = 4$,$x_2 = 6$,$\therefore$三角形的三边长为6,6,4,$\therefore$三角形的周长为$6 + 6 + 4 = 16$.当$k = 5$时，原方程为$x^2 - 16x + 60 = 0$,解得$x_1 = 6$,$x_2 = 10$,$\therefore$三角形的三边长为6,6,10，$\therefore$三角形的周长为$6 + 6 + 10 = 22$.综上，此三角形的周长为16或22.