《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2024东营中考]用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2023= 0$,将它转化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a^{b}$的值为 ( )

A.-2024
B.2024
C.-1
D.1

答案： 1 D$x^{2}-2x-2023=0,x^{2}-2x=2023,x^{2}-2x+1=2023+1,(x-1)^{2}=2024$,所以$a=-1,b=2024$,所以$a^{b}=(-1)^{2024}=1.$

2 [2024潍坊中考]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-mx-n^{2}+mn+1= 0$,其中m,n满足$m-2n= 3$,关于该方程根的情况,下列判断正确的是 ( )

A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： 2 C$\because m-2n=3,\therefore \Delta =(-m)^{2}-4×1×(-n^{2}+mn+1)=m^{2}+4n^{2}-4mn-4=(m-2n)^{2}-4=3^{2}-4=9-4=5＞0$,
∴原方程有两个不相等的实数根.

3 [2024宿迁中考]规定:对于任意实数a,b,c,有$[a,b]★c= ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如$[2,3]★1= 2×1+3= 5$.若关于x的方程$[x,x+1]★(mx)= 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围为 ( )

A.$m＜\frac {1}{4}$
B.$m＞\frac {1}{4}$
C.$m＞\frac {1}{4}且m≠0$
D.$m＜\frac {1}{4}且m≠0$

答案： 3 D 根据题意,得$x(mx)+x+1=0$,整理得$mx^{2}+x+1=0$,
∵该关于x的方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta =1^{2}-4m\cdot 1＞0$且$m≠0$,解得$m＜\frac {1}{4}$且$m≠0.$

4 [2024青岛中考]如图,某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一个矩形花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为矩形空地面积的一半,则小路的宽为____m.

答案： 4 2 设小路的宽为x m,则矩形花坛的长为$(16-2x)m$,宽为$(12-2x)m$,由题意,得$(16-2x)(12-2x)=\frac {1}{2}×16×12$,解得$x=2$或$x=12$(舍去),
∴小路的宽为2 m.

5 [2024凉山州中考]已知$y^{2}-x= 0,x^{2}-3y^{2}+x-3= 0$,则x的值为____.

答案： 5 3$\because y^{2}-x=0,\therefore y^{2}=x$,将$y^{2}=x$代入$x^{2}-3y^{2}+x-3=0$,得$x^{2}-3x+x-3=0$,即$x^{2}-2x-3=0,\therefore x=3$或$x=-1,\because x=y^{2}≥0,\therefore x=3.$

6 [一题多解 [2023连云港中考]若$w= 5x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3$(x,y为实数),则w的最小值为____.

答案： 6 -2 解法一 由题意,得$5x^{2}+(8-4y)x+(y^{2}-2y+3-w)=0$,
∵x为实数,$\therefore (8-4y)^{2}-20(y^{2}-2y+3-w)≥0$,即$5w≥(y+3)^{2}-10≥-10,\therefore w≥-2$,
∴w的最小值为-2.
解法二$w=5x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3=x^{2}+4x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3=4x^{2}-4xy+y^{2}-2y+x^{2}+8x+3=(4x^{2}-4xy+y^{2})-2y+x^{2}+4x+4x+3=(2x-y)^{2}+4x-2y+x^{2}+4x+3=(2x-y)^{2}+2(2x-y)+1-1+x^{2}+4x+4-4+3=[(2x-y)^{2}+2(2x-y)+1]+(x^{2}+4x+4)-2=(2x-y+1)^{2}+(x+2)^{2}-2$,
∵x,y均为实数,$\therefore (2x-y+1)^{2}≥0,(x+2)^{2}≥0,\therefore w≥-2$,即w的最小值为-2.

7 解下列方程:
(1)[2024齐齐哈尔中考]$x^{2}-5x+6= 0$;
(2)[2023无锡中考]$2x^{2}+x-2= 0$.

答案： 7 解:
(1)移项,得$x^{2}-5x=-6$.配方,得$x^{2}-5x+(\frac {5}{2})^{2}=-6+(\frac {5}{2})^{2}$,即$(x-\frac {5}{2})^{2}=\frac {1}{4}$.由此可得$x-\frac {5}{2}=\frac {1}{2}$或$x-\frac {5}{2}=-\frac {1}{2}.\therefore x_{1}=3,x_{2}=2.$
(2)$\because a=2,b=1,c=-2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×(-2)=17＞0$,代入求根公式,得$x=\frac {-1\pm \sqrt {17}}{2×2}=\frac {-1\pm \sqrt {17}}{4},\therefore x_{1}=\frac {-1+\sqrt {17}}{4},x_{2}=\frac {-1-\sqrt {17}}{4}.$

8 [2024南充中考]已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1= 0$的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若$k＜5$,且$k,x_{1},x_{2}$都是整数,求k的值.

答案： 8 解题思路:
(1)根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”，得$\Delta ＞0$,求出k的取值范围.
(2)根据$k＜5$,结合
(1)所求k的取值范围,得出整数k的值有2,3,4,再分别计算讨论整数k的不同取值时,方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$的两个实数根$x_{1},x_{2}$是否符合都是整数即可.
解:
(1)
∵$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$的两个不相等的实数根,$\therefore \Delta =(-2k)^{2}-4×1×(k^{2}-k+1)=4k^{2}-4k^{2}+4k-4=4k-4＞0$,解得$k＞1.$
(2)$\because k＜5$,由
(1)得$k＞1,\therefore 1＜k＜5$,
∴整数k的值有2,3,4.当$k=2$时,方程为$x^{2}-4x+3=0$,解得$x_{1}=1,x_{2}=3$(都是整数,此情况符合题意);当$k=3$时,方程为$x^{2}-6x+7=0$,解得$x=3\pm \sqrt {2}$(不是整数,此情况不符合题意);当$k=4$时,方程为$x^{2}-8x+13=0$,解得$x=4\pm \sqrt {3}$(不是整数,此情况不符合题意).综上所述,k的值为2.

9 [2024淄博中考]“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率;
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.

答案： 9 解:
(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.根据题意,得$32(1+x)^{2}=50$,解得$x_{1}=0.25=25\% ,x_{2}=-2.25$(不合题意,舍去).答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买这种健身器材的套数为m,则每套售价为$(1600-\frac {m-100}{10}×40)$元,令$1600-\frac {m-100}{10}×40＞1000$,解得$m＜250$.
∴①当$m＜250$时,根据题意,得$m(1600-\frac {m-100}{10}×40)=240000$,解得$m_{1}=200,m_{2}=300$(舍去);②当$m≥250$时,每套售价为1000元,至少花费$250×1000=250000$(元),不符合题意.答:购买的这种健身器材的套数为200.