《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2023吉林中考]一元二次方程$x^{2}-5x+2= 0$根的判别式的值是 ( )

A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$

答案： C
∵对于一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$,$a=1$,$b=-5$,$c=2$(确定a,b,c的值时,要注意它们的符号),
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 1× 2=25-8=17$.

2 [2024自贡中考]关于x的一元二次方程$x^{2}+mx-2= 0$根的情况是 ( )

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A
∵$\Delta =m^{2}-4× 1× (-2)=m^{2}+8＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根(当一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$中,a与c异号时,该一元二次方程必有两个不相等的实数根).

3 [2024北京中考]若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+c= 0$有两个相等的实数根,则实数c的值为 ( )

A.-16
B.-4
C.4
D.16

答案： C
∵方程$x^{2}-4x+c=0$有两个相等的实数根,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4× 1× c=0$,解得$c=4$.

4 新趋势·条件开放[2023济南中考]关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+2a= 0$有实数根,则a的值可以是______(写出一个即可).

答案： 1(答案不唯一)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+2a=0$有实数根,
∴$\Delta =16-8a\geq 0$,解得$a\leq 2$,则a的值可以是1.

5 教材P17T4变式 不解方程,直接判断下列一元二次方程的根的情况.
(1)$x^{2}-3x-7= 0$; (2)$9x^{2}+6x+1= 0$;
(3)$2x^{2}-5x+4= 0$.
公式法
课时检测

答案： 解:
(1)因为$a=1$,$b=-3$,$c=-7$,所以$\Delta =b^{2}-4ac=9+28=37＞0$,所以方程有两个不相等的实数根.
(2)因为$a=9$,$b=6$,$c=1$,所以$\Delta =b^{2}-4ac=36-36=0$,所以方程有两个相等的实数根.
(3)因为$a=2$,$b=-5$,$c=4$,所以$\Delta =b^{2}-4ac=25-32=-7＜0$,所以方程无实数根.

6 [2025福州长乐区期中]下列一元二次方程中,根是$x= \frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4×3×(-1)}}{2×3}$的方程是 ( )


A.$3x^{2}+2x-1= 0$
B.$3x^{2}-2x-1= 0$
C.$3x^{2}+4x-1= 0$
D.$-x^{2}-2x+3= 0$

答案： A

7 教材P12T1变式 用公式法解下列方程:
(1)$x^{2}-3x-2= 0$; (2)$x^{2}-2\sqrt{2}x+2= 0$;
(3)$-3x^{2}+5x+2= 0$; (4)$x^{2}+10= 2\sqrt{5}x$.

答案： 解:
(1)
∵$a=1$,$b=-3$,$c=-2$,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4× 1× (-2)=17＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$,
∴$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
(2)
∵$a=1$,$b=-2\sqrt{2}$,$c=2$,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4× 1× 2=0$,
∴方程有两个相等的实数根,
∴$x_{1}=x_{2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-2\sqrt{2})\pm 0}{2× 1}=\sqrt{2}$.
(3)原方程可化为$3x^{2}-5x-2=0$.
∵$a=3$,$b=-5$,$c=-2$,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 3× (-2)=49＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{49}}{2× 3}=\frac{5\pm 7}{6}$,
∴$x_{1}=2$,$x_{2}=-\frac{1}{3}$.
(4)原方程可化为$x^{2}-2\sqrt{5}x+10=0$.
∵$a=1$,$b=-2\sqrt{5}$,$c=10$,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4× 1× 10=-20＜0$,
∴此方程无实数根.

8 教材P17T13变式[2025连云港赣榆区期中]已知关于x的方程$x^{2}-(m+4)x+3m+3= 0$.
(1)求证:不论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)不论m取何值,方程有一根为定值,请求出这个定值.

答案：
(1)证明:
∵$x^{2}-(m+4)x+3m+3=0$,
∴$a=1$,$b=-(m+4)$,$c=3m+3$,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=[-(m+4)]^{2}-4(3m+3)=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}\geq 0$,
∴不论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)解:由
(1)得$\Delta =(m-2)^{2}$,由一元二次方程的求根公式得$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{m+4\pm (m-2)}{2}$,
∴$x_{1}=\frac{m+4+m-2}{2}=m+1$,$x_{2}=\frac{m+4-(m-2)}{2}=3$,
∴不论m取何值,方程有一根为定值,定值为3.