《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

3 [2024黑龙江龙东地区中考]如图,抛物线$y= -x^{2}+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中$B(1,0)$,$C(0,3)$。
(1)求抛物线的解析式。
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得$\triangle APC$的面积最大。若存在,请直接写出点P的坐标和$\triangle APC$的面积的最大值；若不存在,请说明理由。

答案： 3 解题思路:
(1)将B,C两点的坐标代入函数解析式,求出b,c的值即可;
(2)过点P作PE⊥x轴于点E,设P(x,-x²-2x+3),且点P在第二象限,根据S△APC=S△APE+S梯形PCOE-S△AOC可得二次函数解析式,再利用二次函数的性质即可求解.解:
(1)将点B(1,0),C(0,3)的坐标代入y=-x²+bx+c,得{-1+b+c=0,c=3},解得{b=-2,c=3},
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3.
(2)对于y=-x²-2x+3,令y=0,则-x²-2x+3=0,解得x₁=-3,x₂=1,
∴A(-3,0),
∴OA=3,
∵C(0,3),
∴OC=3.过点P作PE⊥x轴于点E,如图,设P(x,-x²-2x+3),且点P在第二象限,
∴OE=-x,AE=3+x,
∴S△APC=S△APE+S梯形PCOE-S△AOC=$\frac{1}{2}$AE×PE+$\frac{1}{2}$(OC+PE)×OE-$\frac{1}{2}$OA×OC=$\frac{1}{2}$(3+x)(-x²-2x+3)+$\frac{1}{2}$(3-x²-2x+3)(-x)-$\frac{1}{2}$×3×3=-$\frac{3}{2}$(x+$\frac{3}{2}$)²+$\frac{27}{8}$,
∵-$\frac{3}{2}$＜0,
∴S有最大值,
∴当x=-$\frac{3}{2}$时,S有最大值,最大值为$\frac{27}{8}$,此时点P的坐标为(-$\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$).

4 [2024资阳中考节选]已知平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线$y= -\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,且$B(4,0)$,$BC= 4\sqrt{2}$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图,点P是抛物线在第一象限内的一点,连接PB,PC,过点P作$PD\perp x$轴于点D,交BC于点K,记$\triangle PBC$,$\triangle BDK的面积分别为S_{1}$,$S_{2}$,求$S_{1}-S_{2}$的最大值。

答案： 4 解:
(1)
∵B(4,0),
∴OB=4.
∵∠BOC=90°,BC=4$\sqrt{2}$,
∴OC=$\sqrt{BC² - OB²}$=4,
∴C(0,4).把点B(4,0),C(0,4)的坐标代入抛物线的解析式,得{c=4,-$\frac{1}{2}$×4²+4b+c=0},解得{c=4,b=1},
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4.
(2)
∵B(4,0),C(0,4),
∴设直线BC的解析式为y=kx+4(k≠0),把B(4,0)的坐标代入得k=-1,
∴y=-x+4.设P(m,-$\frac{1}{2}$m²+m+4),则K(m,-m+4),D(m,0),
∴PK=-$\frac{1}{2}$m²+m+4+m-4=-$\frac{1}{2}$m²+2m,DK=-m+4,DB=4-m,
∴S₁=S△PKC+S△PKB=$\frac{1}{2}$PK·4=-m²+4m,S₂=$\frac{1}{2}$DK·DB=$\frac{1}{2}$(-m+4)(4-m)=$\frac{1}{2}$(4-m)²,
∴S₁-S₂=-m²+4m-$\frac{1}{2}$(4-m)²=-$\frac{3}{2}$m²+8m-8=-$\frac{3}{2}$(m-$\frac{8}{3}$)²+$\frac{8}{3}$,
∴当m=$\frac{8}{3}$时,S₁-S₂取得最大值,最大值为$\frac{8}{3}$.