《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

10 [2023杭州中考]如图,在$\odot O$中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若$∠ABC= 19^{\circ }$,则$∠BAC= $ ( )

A.$23^{\circ }$
B.$24^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$26^{\circ }$

答案： D 如图，连接 OC(已知圆周角，连半径，构造同弧所对的圆心角)。$\because ∠ABC = 19^{\circ },\therefore ∠AOC=2∠ABC=38^{\circ }$。
∵半径 OA，OB 互相垂直，$\therefore ∠AOB=90^{\circ },\therefore ∠BOC = 90^{\circ } - 38^{\circ }=52^{\circ },\therefore ∠BAC=\frac {1}{2}∠BOC = 26^{\circ }$。(方法点拨:求圆周角可先求同弧所对的圆心角)

11 一题多解 [2025聊城阳谷期中]如图,AB是圆的直径,$∠1$,$∠2$,$∠3$,$∠4$的顶点均在AB上方的圆弧上,$∠1$,$∠4$的一边分别经过点A,B,则$∠1+∠2+∠3+∠4$的值为 ( )

A.$45^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$135^{\circ }$
D.$180^{\circ }$

答案： B 解法一
∵AB 是圆的直径，
∴AB 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为$180^{\circ }$。$\because ∠1,∠2,∠3,∠4$所对的弧的和为半圆，$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }$。解法二 如图，连接 FD，FE，FB，则$∠AFB=90^{\circ }$(依据:直径所对的圆周角为直角)，$∠CFD=∠2,∠DFE=∠3,∠EFB = ∠4$(依据:同弧所对的圆周角相等)，$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠CFD+∠DFE+∠EFB=∠AFB=90^{\circ }$。

12 [2025宿迁期中]如图,以$\triangle ABC$的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC分别交于点D,E,且E为BC的中点.若$AB= 8$,$BC= 4$,则BD的长为 ( )

A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： B 如图，连接 AE。
∵AB 是直径，$\therefore ∠ADB=∠AEB = 90^{\circ },\therefore AE⊥BC,BD⊥AC$。
∵E 为 BC 的中点，
∴AE 是 BC 的垂直平分线，$EB=EC=2,\therefore AC=AB=8,\therefore AE=\sqrt {AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt {8^{2}-2^{2}}=2\sqrt {15}$。$\because \frac {1}{2}AC\cdot BD=\frac {1}{2}BC\cdot AE$(等面积法)，$\therefore BD=\frac {BC\cdot AE}{AC}=\frac {4×2\sqrt {15}}{8}=\sqrt {15}$。

13 [2024海南中考]如图,AD是半圆O的直径,点B,C在半圆上,且$\overset{\frown }{AB}= \overset{\frown }{BC}= \overset{\frown }{CD}$,点P在$\overset{\frown }{CD}$上,若$∠PCB= 130^{\circ }$,则$∠PBA$等于 ( )

A.$105^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$70^{\circ }$

答案： B 如图，连接 OB，OC，OP。
∵AD 是半圆 O 的直径，$\therefore ∠AOD=180^{\circ }.\because \widehat {AB}=\widehat {BC}=\widehat {CD},\therefore ∠AOB=∠BOC = ∠COD=60^{\circ }$。$\because OA=OB=OC$，
∴△AOB，△BOC 均是等边三角形，$\therefore ∠ABO=∠CBO=∠BCO=60^{\circ },\therefore ∠ABC=∠ABO + ∠CBO=120^{\circ }$。$\because OC=OP$，
∴△COP 是等腰三角形，又$\because ∠PCB=130^{\circ },\therefore ∠OPC=∠OCP=∠PCB - ∠BCO = 130^{\circ } - 60^{\circ }=70^{\circ }$。$\therefore ∠COP=180^{\circ } - ∠OPC - ∠OCP=180^{\circ } - 70^{\circ } - 70^{\circ }=40^{\circ },\therefore ∠PBC=\frac {1}{2}∠COP=\frac {1}{2}×40^{\circ }=20^{\circ },\therefore ∠PBA=∠ABC - ∠PBC=120^{\circ } - 20^{\circ }=100^{\circ }$。

14 [2023郴州中考]如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是$55^{\circ }$,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器____台.

答案： 4
∵$∠P=55^{\circ }$，
∴∠P 所对弧所对的圆心角是$110^{\circ }$，$\because 360^{\circ }÷110^{\circ }=3\frac {3}{11}$，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台。

15 如图,AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$CD⊥AB$,垂足为D,且$\overset{\frown }{CE}= \overset{\frown }{BC}$,BE分别交CD,AC于点F,G,连接BC.
(1)求证：$∠CAB= ∠DCB$.
(2)求证：点F是BG的中点.

答案： 证明:
(1)
∵AB 是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ACD+∠DCB=90^{\circ }$。$\because CD⊥AB,\therefore ∠CDA=90^{\circ },\therefore ∠CAB+∠ACD=90^{\circ },\therefore ∠CAB=∠DCB$。
(2)$\because \widehat {CE}=\widehat {BC},\therefore ∠CBE=∠CAB$。$\because ∠CAB=∠DCB,\therefore ∠CBE=∠DCB,\therefore FB=FC$。$\because ∠CGB+∠CBG=∠DCG+∠BCF=90^{\circ },\therefore ∠CGB=∠DCG,\therefore FC=FG$，$\therefore FB=FG$，
∴点 F 是 BG 的中点。

16 [2023武汉中考]如图,OA,OB,OC都是$\odot O$的半径,$∠ACB= 2∠BAC$.
(1)求证：$∠AOB= 2∠BOC$.
(2)若$AB= 4$,$BC= \sqrt{5}$,求$\odot O$的半径.

答案： 解题思路:
(1)利用圆周角定理可得$∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB$，$∠BAC=\frac {1}{2}∠BOC$，结合$∠ACB=2∠BAC$即可证明结论；
(2)过点 O 作半径$OD⊥AB$于点 E，可得$AE=BE$，根据圆心角、弧、弦之间的关系可得$BD=BC$，进而得到$BE=2,DB=\sqrt {5}$，在$Rt\triangle BDE$中，利用勾股定理可得$DE=1$，在$Rt\triangle BOE$中，利用勾股定理可求得圆的半径。
(1)证明:$\because ∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB,∠BAC=\frac {1}{2}∠BOC,∠ACB = 2∠BAC,\therefore ∠AOB=2∠BOC$。
(2)解:如图，过点 O 作半径$OD⊥AB$于点 E，连接 BD，则$AE=BE$因为$∠AOB=2∠BOC,∠DOB=\frac {1}{2}∠AOB,\therefore ∠DOB=∠BOC,\therefore BD=BC$因为$AB=4,BC=\sqrt {5},\therefore BE=2,DB=\sqrt {5}$。在$Rt\triangle BDE$中，$∠DEB=90^{\circ },\therefore DE=\sqrt {BD^{2}-BE^{2}}=1$。在$Rt\triangle BOE$中，$∠OEB=90^{\circ },OE=OD - DE=OB - 1,\therefore OB^{2}=(OB - 1)^{2}+2^{2}$，解得$OB=\frac {5}{2}$，即$\odot O$的半径是$\frac {5}{2}$。

17 模型观念 如图,已知$AB= AC= AD$,$∠CBD= 2∠BDC$,$∠BAC= 44^{\circ }$,则$∠CAD$的度数为 ( )
视频解题


A.$68^{\circ }$
B.$88^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$112^{\circ }$
一题练透

答案： B 如图，$\because AB=AC=AD$，
∴点 B，C，D 在以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆上。$\because ∠CBD=2∠BDC,∠BAC=2∠BDC,\therefore ∠CBD=∠BAC$，又$\because ∠CAD=2∠CBD,\therefore ∠CAD=2∠BAC$，而$∠BAC=44^{\circ },\therefore ∠CAD=88^{\circ }$。