《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 教材P88T1变式 下列四个图中,$∠α$是圆周角的是 ( )

答案： C

2 [2024湖南中考]如图,AB,AC为$\odot O$的两条弦,连接OB,OC,若$∠A= 45^{\circ }$,则$∠BOC$的度数为 ( )

A.$60^{\circ }$
B.$75^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$135^{\circ }$

答案： C
∵$\widehat {BC}$所对的圆周角和圆心角分别为$∠A$和$∠BOC$，$\therefore ∠BOC=2∠A=90^{\circ }$。

3 [2025湛江经开区期中]如图,AB是$\odot O$的直径,$∠E= 35^{\circ }$,则$∠BOD= $ ( )

A.$80^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$110^{\circ }$

答案： D $\because ∠E=35^{\circ },\therefore ∠AOD=2∠E=70^{\circ },\therefore ∠BOD=180^{\circ } - 70^{\circ }=110^{\circ }$。

4 教材P88T3变式 [2023牡丹江中考]如图,A,B,C为$\odot O$上的三个点,$∠AOB= 4∠BOC$.若$∠ACB= 60^{\circ }$,则$∠BAC$的度数是 ( )

A.$20^{\circ }$
B.$18^{\circ }$
C.$15^{\circ }$
D.$12^{\circ }$

答案： C $\because ∠ACB=60^{\circ },\therefore ∠AOB=2∠ACB=120^{\circ }.\because ∠AOB = 4∠BOC,\therefore ∠BOC=30^{\circ },\therefore ∠BAC=\frac {1}{2}∠BOC=15^{\circ }$。

5 [2024陕西中考]如图,BC是$\odot O$的弦,连接OB,OC,$∠A是\overset{\frown }{BC}$所对的圆周角,则$∠A与∠OBC$的度数和是____.

答案： $90^{\circ }$
∵$∠A$是$\widehat {BC}$所对的圆周角，$\therefore ∠A=\frac {1}{2}∠O.\because OB = OC,\therefore ∠OBC=∠OCB$。又$\because ∠O+∠OBC+∠OCB=180^{\circ },\therefore ∠O+2∠OBC=180^{\circ },\therefore \frac {1}{2}∠O+∠OBC=90^{\circ }$，即$∠A + ∠OBC=90^{\circ }$。

6 新情境 [2024天津河东区期末]有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心,暂时只有一块足够大的直角三角板(无刻度)可以使用.为此需要先得到两条不同的直径,下列寻找直径AB的方法正确的是 ( )

答案： B

7 一题多解 [2024云南中考]如图,CD是$\odot O$的直径,点A,B在$\odot O$上.若$\overset{\frown }{AC}= \overset{\frown }{BC}$,$∠AOC= 36^{\circ }$,则$∠D= $ ( )

A.$9^{\circ }$
B.$18^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

答案： B 解法一 连接 OB。$\because \widehat {AC}=\widehat {BC},\therefore ∠BOC=∠AOC = 36^{\circ }$(依据:等弧所对的圆心角相等)，$\therefore ∠D=\frac {1}{2}∠BOC=18^{\circ }$(依据:圆周角定理)。解法二 连接 AD。$\because \widehat {AC}=\widehat {BC},\therefore ∠ADC=∠BDC.\because ∠ADC = \frac {1}{2}∠AOC=18^{\circ },\therefore ∠BDC=18^{\circ }$。

8 一题多解 [2023广东中考]如图,AB是$\odot O$的直径,$∠BAC= 50^{\circ }$,则$∠D= $ ( )

A.$20^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$80^{\circ }$

答案： B 解法一
∵AB 是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90^{\circ }$(直径所对的圆周角是直角)，$\therefore ∠ABC=90^{\circ } - ∠BAC=40^{\circ },\therefore ∠D = ∠ABC=40^{\circ }$(同弧所对的圆周角相等)。解法二 连接 OC，则$∠BOC=2∠BAC=100^{\circ },\therefore ∠AOC = 180^{\circ } - 100^{\circ }=80^{\circ },\therefore ∠D=\frac {1}{2}∠AOC=40^{\circ }$。

9 如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且$OD// BC$,OD与AC交于点E.
(1)若$∠ABC= 70^{\circ }$,求$∠CAD$的度数；
(2)若$AB= 5$,$AC= 4$,求DE的长.

答案： 解:
(1)连接 BD。
∵AB 是半圆 O 的直径，$\therefore ∠ACB=90^{\circ }$。$\because OD// BC,\therefore ∠AEO=∠ACB=90^{\circ },\therefore OD⊥AC,\therefore \widehat {AD}=\widehat {CD},\therefore ∠ABD=∠CBD=∠CAD$。$\because ∠ABC=70^{\circ },\therefore ∠CAD=∠CBD=∠ABD=\frac {1}{2}∠ABC=35^{\circ }$。
(2)$\because OD⊥AC,\therefore AE=CE=\frac {1}{2}AC=2$。$\because AB=5,\therefore OA=OD=\frac {5}{2}$。在$Rt\triangle AOE$中，$OE=\sqrt {OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt {(\frac {5}{2})^{2}-2^{2}}=\frac {3}{2}$，$\therefore DE=OD - OE=\frac {5}{2}-\frac {3}{2}=1$。