《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 解下列方程：
(1)$x(x+1)= 2x+2$；
(2)$2(3-x)^{2}= x-3$.

答案： 1 解:
(1)原方程可化为x(x+1)=2(x+1),
移项,得x(x+1)-2(x+1)=0,
因式分解,得(x+1)(x-2)=0,
于是,得x+1=0或x-2=0,
所以x₁=-1,x₂=2.
(2)原方程可化为2(x-3)²-(x-3)=0,
因式分解,得(x-3)[2(x-3)-1]=0,
即(x-3)(2x-7)=0,
于是得x-3=0或2x-7=0,
所以x₁=3,x₂=7/2.
易错分析：求解这类题时，移项后常采取提取公因式的方法因式分解进而求解，切勿采取将方程的两边同时除以含有未知数的同一个因式的方法。

2 新趋势·过程性学习 小明在解方程$x^{2}-4x= 2$时出现了错误,解答过程如下：
$\because a= 1$,$b= -4$,$c= 2$,(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac= (-4)^{2}-4×1×2= 8$,(第二步)
$\therefore x= \frac {4\pm \sqrt {8}}{2}$,(第三步)
$\therefore x_{1}= 2+\sqrt {2}$,$x_{2}= 2-\sqrt {2}$.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第____步开始出错的,其错误原因是____；
(2)写出正确的解答过程.

答案： 2 解:
(1)一 确定a,b,c的值时没有将方程化为一般形式
(2)将原方程化为一般形式为x²-4x-2=0,
∵a=1,b=-4,c=-2,
∴b²-4ac=(-4)²-4×1×(-2)=24,
∴x=(4±√24)/2,
∴x₁=2+√6,x₂=2-√6.
易错分析：用公式法解一元二次方程时，应先把方程化成一般形式，确定a,b,c的值(注意符号)，再计算Δ的值，最后代入求根公式求解。

3 关于x的一元二次方程$(m-3)x^{2}+m^{2}x= 9x+5$化为一般形式后不含一次项,则m的值为( )

A.0
B.±3
C.3
D.-3

答案： 3 D (m-3)x²+m²x=9x+5,移项、合并同类项,得(m-3)x²+(m²-9)x-5=0,由题意,得m-3≠0(二次项系数不为0),m²-9=0(不含一次项),所以m=-3.
易错分析：确定一元二次方程的各项时要先将方程化成一般形式，通过方程确定参数的值之后，一定要代到二次项中，务必使二次项系数不为0.

4 [2024凉山州中考]若关于x的一元二次方程$(a+2)x^{2}+x+a^{2}-4= 0的一个根是x= 0$,则a的值为( )

A.2
B.-2
C.2或-2
D.$\frac {1}{2}$

答案： 4 A
∵(a+2)x²+x+a²-4=0是关于x的一元二次方程,
∴a+2≠0,即a≠-2.由一个根是x=0,得a²-4=0,解得a=±2,
∴a=2.

5 [2023锦州中考]若关于x的一元二次方程$kx^{2}-2x+3= 0$有两个实数根,则k的取值范围是____.

答案： 5 k≤1/3且k≠0
∵方程kx²-2x+3=0是关于x的一元二次方程,
∴k≠0.
∵方程有两个实数根,
∴Δ=(-2)²-4k×3≥0,解得k≤1/3,
∴k的取值范围是k≤1/3且k≠0.

变式 关于x的方程$(a-5)x^{2}-4x-1= 0$有实数根,求a的取值范围.

答案： 变式解:①当a-5=0,即a=5时,方程为-4x-1=0,解得x=-1/4,
∴此时方程一定有实数根;
②当a-5≠0,即a≠5时,
∵关于x的方程(a-5)x²-4x-1=0有实数根,
∴Δ=16+4(a-5)≥0,解得a≥1.
综上,a的取值范围为a≥1.
易错分析：此题目中说的是关于x的方程，并没有说关于x的一元二次方程，所以解题时要分一元一次方程和一元二次方程两种情况。这是题目的隐含条件，一般很容易被忽略，所以一定要仔细审题，并将各种情况考虑到位。

6 关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m= 0的两实数根x_{1}$,$x_{2}满足x_{1}x_{2}= 2$,则$(x_{1}^{2}+2)(x_{2}^{2}+2)$的值是( )

A.8
B.32
C.8或32
D.16或40

答案：
6 B
方程有两个实数根→Δ≥0→m≥0
x₁x₂=2→m²-m=2→m=2
(x₁²+2)(x₂²+2)=32→x₁+x₂=-4
易错分析：本题的易错之处是忽略Δ≥0这一条件，从而得到m=-1或2,进而误选C.

7 若$x_{1}$,$x_{2}$是关于x的方程$x^{2}+mx-3m= 0$的两个根,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 7$,则m的值为____.

答案： 7 1
∵x₁,x₂是关于x的方程x²+mx-3m=0的两个根,
∴x₁+x₂=-m,x₁x₂=-3m.
∵x₁²+x₂²=7,
∴(x₁+x₂)²-2x₁x₂=7,
∴(-m)²+6m=7,解得m=-7或1.当m=-7时,方程为x²-7x+21=0,Δ=(-7)²-4×1×21＜0,此时方程无解;当m=1时,方程为x²+x-3=0,Δ=1²-4×1×(-3)=13＞0,此时方程有解.综上所述,m的值为1.
易错分析：本题根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值后,容易忘记利用根与系数关系的前提是Δ≥0而出错。