《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

10 [2024 青岛六十二中月考]在解方程$2x^{2}+4x+1= 0$时,对方程进行配方,图1是嘉嘉的配方过程,图2是琪琪的配方过程,对于两人的配方过程,说法正确的是 ( )

A.都正确
B.嘉嘉的正确,琪琪的不正确
C.嘉嘉的不正确,琪琪的正确
D.都不正确

答案： A

11 一题多解 已知方程$x^{2}-4x+1= $____,等号右侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成$(x-m)^{2}= 5$的形式,则印刷不清楚的数是 ( )

A.-3
B.-2
C.3
D.2

答案： D 解法一(倒推) $(x-m)^{2}=5$变形,得$x^{2}-2mx+m^{2}=5$,由题意,得$-2m=-4$,解得$m=2$,
∴$x^{2}-4x+2^{2}=5$,
∴$x^{2}-4x+1=2$,
∴ 印刷不清楚的数是2. 解法二(正推) 设印刷不清楚的数是a,则$x^{2}-4x+1=a$,移项,得$x^{2}-4x=a-1$,配方,得$(x-2)^{2}=a+3$,则$a+3=5$,解得$a=2$.
∴ 印刷不清楚的数是2.

12 [2024 天津和平区期中]若方程$x^{2}-4084441= 0的两根为\pm 2021$,则方程$x^{2}-2x-4084440= 0$的两根为____.

答案： $x_{1}=2022,x_{2}=-2020$ $x^{2}-2x-4084440=0$,即$x^{2}-2x=4084440$,$x^{2}-2x+1=4084441$(关键点),即$(x-1)^{2}=4084441$.
∵ 方程$x^{2}-4084441=0$的两根为$\pm 2021$,
∴$x-1=\pm 2021$,
∴$x_{1}=202２,x_{２}=-2０20$.

13 用配方法解下列方程:
(1)$(2x-3)(2x-1)= 5;$
(2)$(2x-1)^{2}= 4x+9.$

答案： 解:
(１)原方程可化为$4x^{2}-8x=２$.二次项系数化为１,得$x^{2}-2x=\frac {1}{２}$.配方,得$x^{2}-2x+1=\frac {1}{2}+1$,即$(x-1)^{2}=\frac {3}{２}$.由此可得$x -１=\frac {\sqrt {6}}{2}$或$x -１=-\frac {\sqrt {6}}{２}$,
∴$x_{1}=1+\frac {\sqrt {6}}{2},x_{2}=１-\frac {\sqrt {6}}{2}$.
(2)原方程整理,得$4x^{2}-8x-8=0$.移项,得$4x^{2}-8x=8$.二次项系数化为1,得$x^{2}-２x=2$.配方,得$x^{2}-2x+1=2+1$,即$(x-1)^{2}=3$.由此可得$x-１=\pm \sqrt {3}$,
∴$x_{1}=1+\sqrt {3},x_{2}=1-\sqrt {3}$.

14 [2025 中卫中宁期中]【方法呈现】
(1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用.
例如:$x^{2}+2x+3= (x^{2}+2x+1)+2= (x+1)^{2}+2,$
$\because (x+1)^{2}≥0,\therefore (x+1)^{2}+2≥2.$
则代数式$x^{2}+2x+3$的最小值为____,这时相应的x的值是____.
【尝试应用】
(2)求代数式$x^{2}-8x+10$的最小或最大值.
【拓展提高】
(3)已知a,b,c是$\triangle ABC$的三边长,满足$a^{2}+b^{2}= 10a+8b-41$,求c的取值范围.

答案： 解:
(1)2 -1
∵ 代数式$x^{2}+2x+3=(x+１)^{2}+2\geq 2$,
∴ 代数式$x^{2}+2x+3$的最小值是2,这时相应的x的值是-1.
(2)$x^{2}-8x+10=x^{2}-8x+16-6=(x-4)^{2}-6$,
∵$(x-4)^{2}\geq 0$,
∴$(x-4)^{2}-6\geq -6$,
∴ 代数式$x^{2}-8x+10$有最小值-6.
(3)
∵a,b,c是△ABC的三边长,满足$a^{2}+b^{2}=10a+8b-41$,
∴$a^{2}+b^{2}-10a-8b=-41$,
∴$(a-5)^{2}+(b-4)^{2}-25-16=-41$,
∴$(a-5)^{2}+(b-4)^{2}=0$,
∴$a-5=0,b-4=0$,
∴$a=5,b=4$,
∵$a-b\lt c\lt a+b$,
∴$1\lt c\lt 9$.

15 应用意识[2025 广州越秀区期末]《代数学》中记载,形如$x^{2}+8x= 33$的方程,可用几何方法求正数解:如图1,先构造一个面积为$x^{2}$的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的长方形,得到大正方形的面积为$33+16= 49$,则该方程的正数解为$7-4= 3$.小聪按此方法解关于x的方程$x^{2}+10x+m= 0$时,构造出如图2所示的图形,已知阴影部分的面积为50,则该方程的正数解为 ( )


A.6
B.$5\sqrt {3}-\frac {3}{2}$
C.$5\sqrt {3}-2$
D.$5\sqrt {3}-5$
]

答案： D 如题图2,先构造一个面积为$x^{2}$的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为$\frac {5}{2}x$的长方形,得到大正方形的面积为$50+(\frac {5}{2})^{2}×4=75$,所以该方程的正数解为$\sqrt {75}-\frac {5}{2}×2=5\sqrt {3}-5$.