《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

9 易错题[2024广安中考]若关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1= 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ( )

A.$m＜0且m\neq-1$
B.$m\geqslant0$
C.$m\leqslant0且m\neq-1$
D.$m＜0$

答案： A
∵关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等 的实数根,
∴$\Delta =(-2)^{2}-4(m+1)＞0$,解得$m＜0$.
∵$m+1\neq0$,
∴$m\neq -1$,
∴m的取值范围是$m＜0$且$m\neq -1$.

10 [2023广州中考]已知关于x的方程$x^{2}-(2k-2)x+k^{2}-1= 0$有两个实数根,则$\sqrt{(k-1)^{2}}-(\sqrt{2-k})^{2}$的化简结果是 ( )

A.-1
B.1
C.$-1-2k$
D.$2k-3$

答案： A
∵关于x的方程$x^{2}-(2k-2)x+k^{2}-1=0$有两个实数根,
∴$\Delta =[-(2k-2)]^{2}-4× 1× (k^{2}-1)\geq0$,解得$k\leqslant1$,
∴$k - 1\leqslant0$,$2-k＞0$,
∴$\sqrt{(k-1)^{2}}-(\sqrt{2-k})^{2}-(k-1)-(2-k)=-1$.

11 [2023内江中考]对于实数a,b定义运算“$\otimes$”为$a\otimes b= b^{2}-ab$.例如:$3\otimes2= 2^{2}-3×2= -2$,则关于x的方程$(k-3)\otimes x= k-1$的根的情况,下列说法正确的是 ( )

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A
∵$(k -3)\otimes x=k -1$,
∴$x^{2}-(k -3)x=k -1$,
∴$x^{2}-(k -3)x -k +1=0$,
∴$\Delta =[-(k -3)]^{2}-4×1×(-k +1)=(k -1)^{2}+4＞0$,
∴关于x的方程$(k -3)\otimes x=k -1$有两个不相等的实数根.

12 [2024河北中考]淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则$a= $ ( )

A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$

答案： C 由题意,得$2a +1=a^{2}$,即$a^{2}-2a -1=0$,解得$a=\sqrt{2}+1$(负值已舍去).

13 用公式法解下列方程:
(1)$(2x+1)(2x-1)= 2\sqrt{2}x$;
(2)$3x^{2}-(x+2)^{2}+2x= 0$.

答案： 解:
(1)原方程可化为$4x^{2}-2\sqrt{2}x -1=0$.
∵$a=4$,$b=-2\sqrt{2}$,$c=-1$,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×4×(-1)=24＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm \sqrt{24}}{2×4}=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{6}}{4}$,
∴$x_{1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,$x_{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
(2)原方程可化为$2x^{2}-2x -4=0$,即$x^{2}-x -2=0$,
∵$a=1$,$b=-1$,$c=-2$,
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-2)=9＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2×1}=\frac{1\pm 3}{2}$,
∴$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.

14 [2025珠海八校期中联考]已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$,其中a,b,c分别为$\triangle ABC$三边的长.
(1)如果$x= -1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由.

答案： 解:
(1)$\triangle ABC$等腰三角形.理由如下:
∵$x=-1$方程的根,$\therefore (a+c)×(-1)^{2}+2b×(-1)+(a-c)=0$,$\therefore a+c - 2b + a - c=0$,$\therefore a=b$,$\therefore \triangle ABC$等腰三角形.
(2)$\triangle ABC$直角三角形.理由如下:
∵方程两个相等的实数根,$\therefore (2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$,$\therefore4b^{2}-4a^{2}+4c^{2}=0$,$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$,$\therefore \triangle ABC$直角三角形.

15 易错题 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+kx-4k-16= 0$.
(1)试判断这个方程的根的情况.
(2)是否存在实数k,使这个方程的两个根为连续偶数? 若存在,求出k的值及方程的根;若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)$\Delta =k^{2}-4(-4k -16)=k^{2}+16k +64=(k +8)^{2}$,
∵$(k +8)^{2}\geq0$,
∴方程有两个实数根.
(2)存在解方程$x^{2}+kx -4k -16=0$,$x_{1}=4$,$x_{2}=-k -4$.当$-k -4=6$时,$k=-10$,方程的根为$x_{1}=4$,$x_{2}=6$;当$-k -4=2$时,$k=-6$,方程的根为$x_{1}=4$,$x_{2}=2$.
∴存在满足题意的实数k,k的值为-10或$-6$.