《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

7 [教材P26T12变式]如图,为便于游客在一块长为40米,宽为30米的矩形荷花池里近距离观赏荷花,公园管理处拟修建等宽的观景廊桥,若要使得能观赏(观景廊桥下的荷花都按不能观赏计)的荷花面积不少于1064平方米,则修建时观景廊桥宽度最大只能是______米.

答案： 2 设修建时观景廊桥宽度是x米,由题意,得(40-x)(30-x)=1064,解得x₁=2,x₂=68(不符合题意,舍去),即若要使得能观赏(观景廊桥下的荷花都按不能观赏计)的荷花面积不少于1064平方米,修建时观景廊桥宽度最大只能是2米.

8 [2025深圳莲花中学月考]如图,在Rt△ABC中,∠B = 90°,BC = 3cm,AC = 5cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始运动(运动方向如图所示),点P的速度为1/2 cm/s,点Q的速度为1cm/s,点Q运动到点C后停止,点P也随之停止运动.若使△PBQ的面积为$15/4 cm^2,$则点P运动的时间是______s.

答案： 3 在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=3 cm,AC=5 cm,
∴AB=√(AC²-BC²)=4(cm).设运动时间为t s,则AP=(1/2)t cm,BQ=t cm,BP=(4-(1/2)t)cm,依题意得,(1/2)BP·BQ=15/4,即(1/2)·(4-(1/2)t)·t=15/4,整理得t²-8t+15=0,解得t₁=3,t₂=5,当t=3时,BQ=1×3=3(cm),符合题意;当t=5时,BQ=1×5=5(cm),5＞3,不符合题意,舍去,
∴点P运动的时间是3 s.

9 [2025襄阳三十一中月考]如图,学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(墙长为60m),其他的边用总长为70m的不锈钢栅栏围成,左右两侧各开一个1m的出口后,不锈钢栅栏状如“山”字形.(备注信息：距后墙7m处,规划有机动车停车位)

(1)若设车棚宽度AB为x m,则车棚长度BC为______m.
(2)若车棚面积为$285m^2,$试求出自行车车棚的长和宽.
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建,请问能围成面积为$450m^2$的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.

答案：
(1)(72-3x)BC=70-2(x-1)-x=(72-3x)(m).
(2)由
(1)和题意可得,x(72-3x)=285,解得x₁=5,x₂=19,
∵距后墙7 m处,规划有机动车停车位,
∴x=5,将x=5代入72-3x得72-3×5=57＜60,满足题干条件,
∴自行车车棚的宽为5 m,自行车车棚的长为57 m.
(3)不能.理由如下:要围成面积为450 m²的自行车车棚,则由
(1),得x(72-3x)=450,整理得x²-24x+150=0,Δ=b²-4ac=(-24)²-4×1×150=-24＜0,故此方程没有实数根,
∴不能围成面积为450 m²的自行车车棚.

10 [应用意识][2024太原小店区期中]综合与实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1,有一块矩形纸板,长为30cm,宽为16cm,要将其四角各剪去一个同样大小的正方形,折成图2所示的底面积为$240cm^2$的无盖长方体盒子.(纸板厚度忽略不计)

(1)求要剪去的正方形的边长.
(2)如图3,小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分),经过思考他发现,再剪去两个同样大小的矩形后,可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折线)；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为$412cm^2,$请计算剪去的正方形的边长.

答案：

(1)设要剪去的正方形的边长为x cm,根据题意列方程为(30-2x)(16-2x)=240,解得x₁=20,x₂=3,当x=20时,30-2x＜0,16-2x＜0,所以不符合题意,舍去.答:要剪去的正方形的边长为3 cm.
(2)①画出的图形如图所示.
　　　　　　　　
②设剪去的正方形的边长为y cm.根据题意可列方程为30×16-2y²-2×(30/2)y=412,解得y₁=-17(舍去),y₂=2.答:剪去的正方形的边长为2 cm.

【思考】利用方程解决实际问题的关键是什么?
一题练透

答案： 利用方程解决实际问题的关键是找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程。