《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

典例1 如图,作一个以数轴的原点为圆心,长方形对角线的长为半径的圆弧,交数轴于点A,则点A表示的数为____(填“有理数”或“无理数”).

点拨 根据勾股定理求出长方形对角线长的平方值,得到OA长的平方值,从而判断点A表示的数是有理数还是无理数.
解答:
解有所悟:判断数轴上的点对应的数是有理数还是无理数时,一般先确定该点与原点组成的线段长,若这条线段的长等于长方形的对角线的长,则可利用勾股定理来求对角线长的平方值,据此得到该点与原点组成的线段长的平方值,从而判断数轴上的点对应的数是有理数还是无理数.

答案： 无理数

典例2 如图所示为由16个边长为1的小正方形拼成的网格,连接这些小正方形的若干个顶点,得到五条线段CA,CB,CD,CE,CF. 这五条线段中,长度是有理数的线段和长度不是有理数的线段分别是哪些?

点拨 根据各线段在网格中的位置,结合勾股定理确定每条线段长的平方值,再根据结果判断.
解答:
解有所悟:判断线段长度是有理数还是无理数的思路:(1)与网格线重合的线段,长度可直接读出,是有理数.(2)不在网格线上的线段,可看成某一直角三角形的斜边,利用勾股定理求出其长度的平方值. 若该平方值是整数或分数的平方,则线段的长是有理数;若该平方值不是整数或分数的平方,则线段的长是无理数.

答案： 因为 CA=4,AB=1,AD=3,所以 CB²=AC²+AB²=4²+1²=17,CD²=AC²+AD²=4²+3²=25,CE²=2²+2²=8,CF²=2²+3²=13.所以长度是有理数的线段是 CA,CD,长度不是有理数的线段是 CB,CE,CF.