《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

17. (10分)如图,地面上有一个不规则的封闭图形ABCD,为求得它的面积,小明设计了如下方法：① 在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆. ② 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点),记录如表：
|小石子落在圆内(含圆上)的次数m|20|61|123|206|
|小石子落在圆外的涂色部分(含外缘)的次数n|30|89|177|294|
|m : n的值|0.667|0.685|0.695|0.701|
(1)可以发现投掷的次数越大,m : n的值越接近______(结果精确到0.1)；
(2)估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米(结果保留π).

答案：
(1)0.7
(2)解：设封闭图形ABCD的面积为S平方米。
由题意得，圆的面积为π×2²=4π平方米。
随着投掷次数增大，m:n≈0.7，即m/n≈0.7，所以m/(m+n)≈0.7/(1+0.7)=7/17。
因为小石子落在圆内的概率近似等于圆的面积与封闭图形面积之比，所以4π/S≈7/17，解得S≈(4π×17)/7=68π/7。
答：整个封闭图形ABCD的面积约是68π/7平方米。

18. (10分)(1)如图①所示为一个可以自由转动的转盘,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？
(2)请在图②中设计一个转盘,使其满足条件：自由转动这个转盘,当它停止转动时,指针落在红色区域的概率为$\frac{3}{8}$,落在白色区域的概率为$\frac{3}{8}$,落在黄色区域的概率为$\frac{1}{4}$.

答案： 【解析】：本题主要考查概率的计算以及根据概率设计转盘。
（1）对于自由转动的转盘，当转盘停止时，指针落在某区域的概率等于该区域圆心角度数与$360^{\circ}$的比值。
在图①中，红色区域圆心角度数为$120^{\circ}$，白色区域圆心角度数为$360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$。
根据上述概率计算公式，可分别计算出指针落在红色区域和白色区域的概率。
（2）已知指针落在红色区域的概率为$\frac{3}{8}$，落在白色区域的概率为$\frac{3}{8}$，落在黄色区域的概率为$\frac{1}{4}$。
根据概率与圆心角度数的关系，可分别计算出各区域对应的圆心角度数，即红色区域圆心角度数为$360^{\circ}×\frac{3}{8}=135^{\circ}$，白色区域圆心角度数为$360^{\circ}×\frac{3}{8}=135^{\circ}$，黄色区域圆心角度数为$360^{\circ}×\frac{1}{4}=90^{\circ}$。
然后根据计算出的圆心角度数设计转盘。
【答案】：
(1)红色区域概率$P(红)=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{1}{3}$；
白色区域概率$P(白)=\frac{360^{\circ}-120^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{240^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{2}{3}$。
(2)红色区域圆心角度数为$360^{\circ}×\frac{3}{8}=135^{\circ}$；
白色区域圆心角度数为$360^{\circ}×\frac{3}{8}=135^{\circ}$；
黄色区域圆心角度数为$360^{\circ}×\frac{1}{4}=90^{\circ}$。
图略（设计的转盘应包含圆心角分别为$135^{\circ}$的红色区域、$135^{\circ}$的白色区域和$90^{\circ}$的黄色区域）。