《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

19. (12分)新情境 日常生活 如图(单位：米),某市有一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦. 住宅用地是长为$(3a+2b)$米、宽为4a米的长方形,广场是长为3a米、宽为$(2a-b)$米的长方形.
(1)这块用地的总面积是多少平方米？
(2)当$a= 30,b= 50$时,求商厦的用地面积.

答案： （1）由题意得，这块用地是长方形，长为$3a+2b+(2a-b)=(5a+b)$米，宽为4a米，所以这块用地的总面积为$(5a+b)×4a=(20a^{2}+4ab)$平方米.（2）当$a= 30,b= 50$时，商厦用地的宽为$2a-b=60-50=10$（米），长为$4a-3a=a=30$米.所以商厦的用地面积为$30×10=300$（平方米）.

20. (13分)如图①所示为一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②所示的方式拼成正方形ABCD.
答案讲解
(1)观察图②并填空：正方形ABCD的边长为____,涂色部分的小正方形的边长为____；
(2)观察图②,试猜想式子$(m+n)^{2},(m-n)^{2}$,mn之间的等量关系,并证明你的结论；
(3)根据(2)中的等量关系,已知$a-b= 6,ab= -8$,求$a+b$的值.

答案： （1）$m+n$；$m-n$；（2）$(m+n)^{2}=(m-n)^{2}+4mn$. $(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}=m^{2}-2mn+n^{2}+4mn=(m-n)^{2}+4mn$.（3）由（2）得$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$.因为$a-b=6$，$ab=-8$，所以$(a+b)^{2}=6^{2}+4×(-8)=4$.所以$a+b=\pm2$.