《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

1. 下列各组数中,是勾股数的为 ( )

A.$ 0.6 $,$ 0.8 $,$ 1 $
B.$ 3 $,$ 4 $,$ 5 $
C.$ 1 $,$ 3 $,$ 10 $
D.$ 5 $,$ 11 $,$ 12 $

答案： B

2. 在 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = 8 $,$ B C = 15 $,$ A C = 17 $,则下列结论正确的是 ( )

A.$ \triangle A B C $ 是直角三角形,且 $ \angle A = 90 ^ { \circ } $
B.$ \triangle A B C $ 是直角三角形,且 $ \angle B = 90 ^ { \circ } $
C.$ \triangle A B C $ 是直角三角形,且 $ \angle C = 90 ^ { \circ } $
D.$ \triangle A B C $ 不是直角三角形

答案： B

3. 如图,在正方形组成的网格中标出了 $ A B $,$ C D $,$ E F $,$ G H $ 四条线段,其中能构成直角三角形三边的三条线段是 ( )

A.$ C D $,$ E F $,$ G H $

B.$ A B $,$ C D $,$ E F $
C.$ A B $,$ C D $,$ G H $
D.$ A B $,$ E F $,$ G H $

答案： D

4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有一道题目,其大意如下：有一块三角形沙田,三条边的长分别为 $ 5 $ 里、$ 12 $ 里、$ 13 $ 里,问这块沙田的面积有多大？其中,$ 1 $ 里 $ = 500 $ 米,则该沙田的面积为 ( )

A.$ 7.5 $ 平方千米
B.$ 15 $ 平方千米
C.$ 75 $ 平方千米
D.$ 750 $ 平方千米

答案： A

5. 若一个三角形三边的长分别为 $ 15 \mathrm { cm } $、$ 20 \mathrm { cm } $、$ 25 \mathrm { cm } $,则这个三角形最长边上的高为____$ \mathrm { cm } $。

答案： 12

6. 木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为 $ 60 \mathrm { cm } $,宽为 $ 32 \mathrm { cm } $,对角线的长为 $ 68 \mathrm { cm } $,则这个长方形桌面____(填“合格”或“不合格”)。

答案： 合格

7. $ \triangle A B C $ 的三边分别是 $ a $,$ b $,$ c $,且满足 $ | a - 8 | + ( b - 6 ) ^ { 2 } = 0 $,则当 $ c ^ { 2 } = $____时,$ \triangle A B C $ 是直角三角形。

答案： 100或28

8. 如图,某港口 $ P $ 位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,航行速度分别为 $ 12 $ 海里/时和 $ 16 $ 海里/时,$ 1 $ 时后两轮船分别位于点 $ A $,$ B $ 处,且相距 $ 20 $ 海里。若甲轮船沿北偏西 $ 40 ^ { \circ } $ 方向航行,则乙轮船沿____方向航行。

答案： 北偏东50°

9. 如图,$ C D = 3 $,$ A D = 4 $,$ B C = 12 $,$ A B = 13 $,$ \angle A D C = 90 ^ { \circ } $,则涂色部分的面积为____。

答案： 24 解析：在Rt△ADC中，CD=3，AD=4，由勾股定理，得AC=5．因为AC=5，AB=13，BC=12，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$．所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．所以涂色部分的面积$=S_{\triangle ACB}-S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC-\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24$．

10. 如图,$ A D $ 为 $ \triangle A B C $ 的中线,且 $ A C = 13 $,$ B C = 10 $,$ A D = 12 $,求 $ \triangle A B D $ 的周长。

答案： 因为AD为△ABC的中线，BC=10，所以BD=CD=5．因为AC=13，AD=12，所以$AD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169$，$AC^{2}=13^{2}=169$．所以$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$．所以∠ADC=90°．所以∠ADB=180°-∠ADC=90°．所以在Rt△ADB中，$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$12^{2}+5^{2}=AB^{2}$．所以$AB^{2}=169$．所以AB=13．所以△ABD的周长为5+12+13=30．

11. 如图,在四边形 $ A B C D $ 中,$ A B = 20 $,$ B C = 15 $,$ C D = 7 $,$ A D = 24 $,$ \angle B = 90 ^ { \circ } $。
(1)求证：$ C D \perp A D $；
(2)四边形 $ A B C D $ 的面积为____。

答案： （1）连接AC．因为∠B=90°，所以$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=400+225=625$．因为$AD^{2}+CD^{2}=24^{2}+7^{2}=625$，所以$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$．所以△ADC是直角三角形，且∠D=90°，所以CD⊥AD．
（2）234 解析：$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234$．