《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

16. 观察下列等式：
第1个等式：(2×1 + 1)^{2} = (2×2 + 1)^{2} - (2×2)^{2}；
第2个等式：(2×2 + 1)^{2} = (3×4 + 1)^{2} - (3×4)^{2}；
第3个等式：(2×3 + 1)^{2} = (4×6 + 1)^{2} - (4×6)^{2}；
第4个等式：(2×4 + 1)^{2} = (5×8 + 1)^{2} - (5×8)^{2}；
…
按照以上规律,解决下面的问题：
(1)写出第5个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并说明理由。

答案：
(1) 第5个等式:$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$.
(2) 第n个等式:$(2n+1)^2=[(n+1)×2n+1]^2-[(n+1)×2n]^2$.理由:左边=4n²+4n+1,右边=[(n+1)×2n]^2+2×(n+1)×2n×1+1²-[(n+1)×2n]^2=4n²+4n+1.因为左边=右边,所以等式成立.