《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

10. 先化简,再求值：$[(x + 2y)(x - 2y)-(2x - y)^{2}-(x^{2}-5y^{2})]÷(-2x)$,其中$x$,$y满足2^{3x}÷2^{3y}= 8$。

答案： 原式=(x²-4y²-4x²+4xy-y²-x²+5y²)÷(-2x)=(-4x²+4xy)÷(-2x)=2x-2y.因为2^{3x}÷2^{3y}=8,即2^{3x-3y}=2³,所以3x-3y=3.所以x-y=1.当x-y=1时,原式=2(x-y)=2×1=2.

11. 我们知道,关于$x$,$y的多项式(ax^{2}-3x + by - 1)-2\cdot(3 - y-\frac{3}{2}x + x^{2})$中,$a$,$b分别是ax^{2}和by$项的系数。一般情况下,当给定$a$,$b$的值之后,这个多项式的值由$x$,$y$的取值确定。
(1)给定$a = 3$,$b = 2$,当$x = y = 1$时,求这个多项式的值。
(2)是否存在实数$a$,$b$,不管$x$,$y$取何值,该多项式的值始终是一个常数？如果存在,请求出$a$,$b$的值；如果不存在,请说明理由。

答案： （1）原式=ax²-3x+by-1-6+2y+3x-2x²=(a-2)x²+(b+2)y-7.因为a=3,b=2,所以这个多项式可化简为x²+4y-7.当x=y=1时,多项式的值为1²+4×1-7=-2.（2）由（1）,得多项式可化简为(a-2)x²+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+2=0,解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,即当a=2,b=-2时,不管x,y取何值,该多项式的值始终是常数-7.

12. 已知多项式$P= (x + 2)^{2}+x(1 - x)-9$($x$为整数),试说明：多项式$P能被5$整除。

答案： P=(x+2)²+x(1-x)-9=x²+4x+4+x-x²-9=5x-5=5(x-1),因为x为整数,所以多项式P能被5整除.

13. 数学课上,老师出了这样一道题目：当$a= \frac{1}{2}$,$b = - 2$时,求多项式$7a^{3}+3a^{2}b + 3a^{3}+6a^{3}b - 3a^{2}b - 10a^{3}-6a^{3}b - 1$的值。解完这道题后,小阳指出：$a= \frac{1}{2}$,$b = - 2$是多余的条件。师生讨论后,一致认为小阳的说法是正确的。
(1)请你证明小阳的说法正确；
(2)无论$x$,$y$取何值,多项式$2x^{2}+ax - 5y + b - 2(bx^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y - 3)$的值都不变,求$a$,$b$的值。

答案： （1）因为7a³+3a²b+3a³+6a³b-3a²b-10a³-6a³b-1=(7+3-10)a³+(3-3)a²b+(6-6)a³b-1=-1,所以该多项式的值为常数,与a和b的取值无关.所以小阳的说法正确.（2）原式=2x²+ax-5y+b-2bx²+3x+5y+6=(2-2b)x²+(a+3)x+(b+6).因为无论x,y取何值,多项式2x²+ax-5y+b-2(bx²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$y-3)的值都不变,所以2-2b=0,a+3=0,解得a=-3,b=1.