《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

8. 求$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{2022}$的值.
令$S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{2022}$,
则$2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{2023}$.
答案讲解
两式相减,得$2S - S = 2^{2023} - 1$.
所以原式$= S = 2^{2023} - 1$.
请你仿照以上过程,求$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{2025}$的值.

答案： 8. 令$S=1+3+3^{2}+3^{3}+\cdots +3^{2025}$,$则3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots +3^{2026}$.两式相减，得$3S-S=3^{2026}-1$.所以原式=$S=\frac{3^{2026}-1}{2}$.

9. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快速地计算出$1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = 5050$.今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令$S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100$①,
即$S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1$②.
①+②,得$2S = (1 + 100)×100$.
所以$S = 5050$.
请仿照以上做法,计算：$2 + 4 + 6 + 8 + … + 2026$.

答案： 9. 令$S=2+4+6+8+\cdots +2026$①,即$S=2026+2024+2022+\cdots +2$②.①+②,得$2S=(2+2026)×1013$.所以$S=\frac{(2+2026)×1013}{2}=1027182$.所以2+4+6+8+…+2026=1027182.

10. 观察下列各式：$\frac{1}{2}= \frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$,
答案讲解
$\frac{1}{6}= \frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{12}= \frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,…,根据规律解答下面的问题.
(1) $\frac{1}{9×10}= $______$-$______；
(2) 计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2022×2024}$.

答案： 10.（1）$\frac{1}{9}$;$\frac{1}{10}$.（2）原式=$\frac{1}{4×1×2}+\frac{1}{4×2×3}+\frac{1}{4×3×4}+\cdots +\frac{1}{4×1011×1012}=\frac{1}{4}×(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots +\frac{1}{1011×1012})=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{1011}-\frac{1}{1012})=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{1012})=\frac{1}{4}×\frac{1011}{1012}=\frac{1011}{4048}$.