《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

20. (10分)如图,这是一个供滑板爱好者使用的U形池,该U形池可以看成是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的,中间可供滑行部分的横截面是半径为$3\mathrm{m}$的半圆,该部分的边缘$AB = CD = 45\mathrm{m}$,点$E在CD$上,$CE = 5\mathrm{m}$,一滑板爱好者从点$A滑到点E$,则他滑行的最短距离是多少(边缘部分的厚度可以忽略不计,$\pi$取整数3)？

答案： 中间可供滑行部分的展开图如图所示,连接AE,易知AE的长即为滑行的最短距离.设横截面的半圆的半径为R.由题意,得$R=3\ \text{m},CE=5\ \text{m},AB=CD=45\ \text{m}$,所以$DE=CD-CE=40\ \text{m}$,$AD=\pi R\approx9\ \text{m}$.在$\text{Rt}\triangle ADE$中,$AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}=1681\ \text{m}^{2}$,所以$AE=41\ \text{m}$.所以他滑行的最短距离是41 m.

21. (11分)小王剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作：
操作一：如图①,将$\mathrm{Rt}\triangle ABC$沿某条直线折叠,使斜边的两个端点$A与B$重合,折痕为$DE$.
(1)若$AC = 6\mathrm{cm}$,$AB = 10\mathrm{cm}$,则$\triangle ACD$的周长为______$\mathrm{cm}$；
(2)若$\angle CAD:\angle BAD = 1:4$,则$\angle B$的度数为______.
操作二：如图②,小王拿出另一张直角三角形纸片,将直角边$AC沿直线AD$折叠,使它落在斜边$AB$上,且与$AE$重合.若$AC = 9\mathrm{cm}$,$AB = 15\mathrm{cm}$,求$CD$的长.

答案： 操作一：（1）14.（2）$40^{\circ}$.操作二：在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$AC=9\ \text{cm},AB=15\ \text{cm}$,由勾股定理,得$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=15^{2}-9^{2}=144(\text{cm}^{2})$.所以$BC=12\ \text{cm}$.由折叠,得$AE=AC=9\ \text{cm},DE=CD,\angle AED=\angle C=90^{\circ}$.因为$AB=15\ \text{cm}$,所以$BE=AB-AE=6\ \text{cm}$.设$CD=x\ \text{cm}$,则$BD=(12-x)\ \text{cm},DE=CD=x\ \text{cm}$.在$\text{Rt}\triangle BDE$中,由勾股定理,得$DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$,即$x^{2}+6^{2}=(12-x)^{2}$,解得$x=4.5$.所以$CD=4.5\ \text{cm}$.