《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

20. (9分)我们知道:成轴对称的两个图形中,对称点的连线被对称轴垂直平分.如图①,AB与$A'B'$关于直线l对称,则$l⊥AA'$于点M,$l⊥BB'$于点N,$AM= A'M,BN= B'N$.
(1) 在图①中,连接$AB',BA'$交于点O,作出图形,并写出你的发现.
(2) 如图②,$△ABC与△A'B'C'$关于直线m对称.请运用你的发现,只用无刻度的直尺作出直线m,并说明作图过程.
(3) 如图③,$△ABC$是一张以BC为底的等腰三角形纸片,$AC＞BC$.请运用你的方法,通过折叠得到等边三角形BCD,并简述折叠的过程.

答案：
(1) 如图①,点O即为所求.发现:点O在对称轴上.
(2) 如图②,连接AC',CA'交于点O',连接CB',BC'交于点O,点O,O'所在直线即为直线m,直线m即为所求.
(3) 如图③,将△ABC沿对称轴AM对折,得到折痕AM,再将BC沿BN对折，使得点C落在AM上的点D处,连接BD,DC,△BCD即为所求.

21. (12分)(1) 如图①,直线同侧有点A,B,在直线上求作一点C,使它到A,B两点的距离之和最小(保留作图痕迹,不需要写作法).
(2) 如图②,点P在$∠AOB$的内部,试在OA,OB上分别找出两点E,F,使$△PEF$的周长最短(保留作图痕迹,不需要写作法).
(3) ① 如图③,在五边形ABCDE中,试在BC,DE上分别找出点M,N,使得$△AMN$的周长最小(保留作图痕迹,不需要写作法);
② 若$∠BAE= 125^{\circ },∠B= ∠E= 90^{\circ },AB= BC,AE= DE$,求$∠AMN+∠ANM$的度数.

答案：
(1) 如图①,点C即为所求.
(2) 如图②,点E,F即为所求.
(3) ① 如图③,点M,N即为所求.② 如图③,因为∠BAE=125°,所以∠P+∠Q=180°−125°=55°.因为易得BC,ED分别垂直平分AP,AQ,所以AM=PM,AN=QN.所以∠P=∠PAM,∠Q=∠QAN.因为∠AMN=180°−∠AMP=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=180°−∠ANQ=∠Q+∠QAN=2∠Q,所以∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×55°=110°.