《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

10. 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$∠BAC= ∠DAE= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$AD= AE$,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD. 图中的CE,BD之间有怎样的数量关系和位置关系？试说明理由.

答案： CE=BD且CE⊥BD.理由：因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中，BA=CA，∠BAD=∠CAE，AD=AE，所以△BAD≌△CAE.所以BD=CE，∠ABD=∠ACE.因为易得∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC=∠ABD+∠DBC，所以∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°.所以∠BDC=90°.所以BD⊥CE.

11. 如图,在$\triangle ABC$中,D为边BC上一点,$BE\perp AD$,交AD的延长线于点E,$CF\perp AD$于点F,$BE= CF$.
(1) 试说明：D为BC的中点；
(2) 若$BC= 2AC$,试说明：$AF= DE$.

答案： （1）因为BE⊥AD，CF⊥AD，所以∠CFD=∠BED=90°.在△CFD和△BED中，因为∠CFD=∠BED=90°，∠CDF=∠BDE，CF=BE，所以△CFD≌△BED.所以CD=BD，即D为BC的中点.（2）因为BC=2AC，CD=BD，所以CA=CD.因为CF⊥AD，所以易得AF=DF.因为△CFD≌△BED，所以DF=DE.所以AF=DE.

12. (1) 如图①,$∠BAD= 90^{\circ}$,$AB= AD$,$BC\perp AC$于点C,$DE\perp AE$于点E. 由$∠1+∠2= ∠2+∠D= 90^{\circ}$,得$∠1= ∠D$. 又因为$∠ACB= ∠DEA= 90^{\circ}$,可以通过推理得到$\triangle ABC\cong \triangle DAE$,进而得到$AC= $____,$BC= $____. 我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型.
(2) 如图②,在$\triangle ABC$中,$AB= CA$,点D,A,E都在直线l上,并且$∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= \alpha$. 若$DE= a$,$BD= b$,求CE的长(用含a,b的代数式表示).

答案： （1）DE；AE.（2）因为∠BDA=∠BAC=α，所以∠ABD+∠BAD=180°−α=∠BAD+∠CAE.所以∠ABD=∠CAE.在△ABD和△CAE中，因为∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=CA，所以△ABD≌△CAE.所以AD=CE，BD=AE.所以DE=AD+AE=CE+BD.因为DE=a，BD=b，所以CE=DE−BD=a−b.