《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

9. 若$x^{2}+2xy+y^{2}-a(x+y)+25$为完全平方式,求$a$的值。

答案： 原式$=(x+y)^{2}-a(x+y)+5^{2}$.因为原式为完全平方式,所以$-a(x+y)=\pm 2×5(x+y)$.所以$-a=\pm 10$.所以$a=\pm 10$.

10. 简便计算：
(1)$2022^{2}-2020×2024$；
(2)$188^{2}-376×88+88^{2}$。

答案：
(1)$2022^{2}-2020×2024=2022^{2}-(2022-2)×(2022+2)=2022^{2}-(2022^{2}-4)=2022^{2}-2022^{2}+4=4$.
(2)$188^{2}-376×88+88^{2}=188^{2}-2×188×88+88^{2}=(188-88)^{2}=100^{2}=10000$.

11. 在学习“平方差公式”时,张老师出了一道题：计算$9×11×101$。嘉嘉发现把9写成$10-1$,把11写成$10+1$后可以连续运用平方差公式进行计算。
请根据上述思路,计算：
(1)$9×11×101$；
(2)$\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{16}}$。

答案：
(1)原式$=(10-1)×(10+1)×(100+1)=(10^{2}-1)×(100+1)=(100-1)×(100+1)=100^{2}-1=10000-1=9999$.
(2)原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{16}}=(1-\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{16}}=(1-\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{16}}=(1-\frac{1}{2^{8}})×(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{16}}=1-\frac{1}{2^{16}}+\frac{1}{2^{16}}=1$.

12. 数学课上,老师出了一道题：用简便方法计算$296^{2}$的值。喜欢数学的小亮动手做出了这道题,他的解题过程如下：
$296^{2}= (300-4)^{2}$(第一步)
$=300^{2}-2×300×(-4)+4^{2}$(第二步)
$=90000+2400+16$(第三步)
$=92416$(第四步)。
老师表扬小亮积极发言的同时,也指出了他解题过程中的错误。
(1)小亮的解题过程,从第______步开始出错；
(2)请你写出正确的解题过程。

答案：
(1)二.
(2)$296^{2}=(300-4)^{2}=300^{2}-2×300×4+4^{2}=90000-2400+16=87616$.

13. 如图①,边长为$a的大正方形中有一个边长为b$的小正方形,图②是由图①中的涂色部分剪拼成的一个长方形。设图①中涂色部分的面积为$S_{1}$,图②中涂色部分的面积为$S_{2}$,则$S_{1}= $______,$S_{2}= $______。写出利用图形的面积关系所得到的公式：______(用含$a$,$b$的代数式表示)。

答案： $a^{2}-b^{2}$ $(a+b)(a-b)$ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$