《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

9. 如图,一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10m,高是15m,一只壁虎在距下底面3m的点A处,油罐上底面与点A相对的点C处有食物,壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食,它爬行的最短路线长多少米？

答案： 圆柱形油罐的侧面展开图如图所示，连接AC，过点A 作AD⊥CD于点D.由题意,得AD=1/2×10=5(m),CD=15−3=12(m),在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC²=CD²+AD²=12²+5²=169(m²),所以AC=13m.所以它爬行的最短路线长13m.

10. 如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB= AC,由于某种原因,由点C到点A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得BC= 6km,CH= 4.8km,BH= 3.6km。
(1)CH是否为从村庄C到河边的最近路线(即CH与AB是否垂直)？请说明理由。
(2)求原来的路线AC的长。

答案：
(1)是.理由:在△CHB中,因为CH²+BH²=4.8²+3.6²=36(km²),BC²=36km²,所以CH²+BH²=BC².所以CH⊥AB.所以CH是从村庄C到河边的最近路线.
(2)设AC=x km,则AB=x km.在Rt△ACH中,由题意,得AH=(x−3.6)km,CH=4.8km.由勾股定理,得AC²=AH²+CH²,即x²=(x - 3.6)²+4.8²,解得x=5.所以原来的路线AC的长为5km.

11. (威海中考)将一张长方形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式折叠,使点C落在AB上的点C'处,折痕为MN,点D落在点D'处,C'D'交AD于点E。若BM= 3,BC'= 4,AC'= 3,则DN= ____。

答案： 3/2

12. 如图,长方体的长AB= 5,宽BC= 4,高AE= 6,三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处。蚂蚁甲的爬行路径：翻过棱EH后到达点G处(即A→P→G)；蚂蚁乙的爬行路径：翻过棱EF后到达点G处(即A→M→G)；蚂蚁丙的爬行路径：翻过棱BF后到达点G处(即A→N→G)。
(1)三只蚂蚁的爬行路程s甲,s乙,s丙的最小值的平方分别是多少？
(2)三只蚂蚁都按自己的最短路径爬,则哪只最先到达？哪只最后到达？

答案：
(1)因为长方体的长AB=5,宽BC=4,高AE=6,所以EF=AB=5,GF=BC=EH=4,AE=BF=CG=6.所以s²甲=(AE+EF)²+GF²=(6+5)²+4²=137,s²乙=AB²+(BF+GF)²=5²+(6+4)²=125,s²丙=(AB+BC)²+CG²=(5+4)²+6²=117.所以三只蚂蚁的爬行路程s甲，s乙，s丙的最小值的平方分别是137,125,117.
(2)因为137＞125＞117,且三只蚂蚁爬行的速度相同，所以蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达.