《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

12. 如图,$AB// DF$,$DE和AC分别平分\angle FDC和\angle BAE$.若$\angle DEA= 46^{\circ}$,$\angle ACD= 56^{\circ}$,求$\angle FDC$的度数.

答案： 如图，过点C作CN//AB，过点E作EM//AB。因为AB//DF，所以AB//CN//EM//DF。所以∠BAC = ∠NCA，∠NCD = ∠FDC，∠FDE = ∠DEM，∠MEA = ∠BAE。所以∠DEA = ∠DEM + ∠MEA = ∠FDE + ∠BAE = 46°，∠ACD = ∠NCA + ∠NCD = ∠BAC + ∠FDC = 56°。所以∠FDE + ∠BAE + ∠BAC + ∠FDC = ∠DEA + ∠ACD = 102°。因为DE和AC分别平分∠FDC和∠BAE，所以∠FDC = 2∠FDE = 2∠EDC，∠BAE = 2∠BAC = 2∠EAC。所以∠FDE + ∠BAE + ∠BAC + ∠FDC = 3(∠FDE + ∠BAC)。所以∠BAC + ∠FDE = 34°。又因为∠BAC + ∠FDC = ∠BAC + 2∠FDE = 56°，所以∠FDE = 22°。所以∠FDC = 2∠FDE = 44°。

13. 已知直线$AB// CD$,点$E在直线AB$上,点$F在直线CD$上,$G$是平面内一点.
(1)如图①,点$G在直线AB$,$CD$之间,若$\angle 1= 30^{\circ}$,$\angle 3= 75^{\circ}$,求$\angle 2$的度数.
(2)如图②,点$G在直线AB$,$CD$之间,$FN平分\angle CFG$,延长$GE交FN于点M$,$EM平分\angle AEN$.当$\angle N+\frac{1}{2}\angle FGE= 54^{\circ}$时,求$\angle AEN$的度数.
(3)如图③,点$G在直线AB$上方,$FK平分\angle CFG$,$EL平分\angle AEG$,直线$KF与直线LE相交于点H$,试猜想$\angle EGF与\angle EHF$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)如图①，过点G作GR//AB。因为AB//CD，所以AB//CD//GR。所以∠1 = ∠EGR，∠2 = ∠FGR。所以∠1 + ∠2 = ∠EGR + ∠FGR = ∠EGF。因为∠1 = 30°，∠EGF = 75°，所以∠2 = 45°。
(2)因为FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，所以可设∠CFN = ∠GFN = β，∠AEM = ∠NEM = α。如图②，过点G作GP//CD，过点N作NQ//AB。又因为AB//CD，所以NQ//AB//CD//GP。所以∠QNF = ∠CFN = β，∠QNE = ∠AEN = 2α，∠PGE = ∠AEM = α，∠PGF = ∠DFG = 180° - 2β。所以∠FNE = ∠QNF - ∠QNE = β - 2α°，∠FGE = ∠PGE + ∠PGF = α + 180° - 2β。又因为∠FNE + $\frac{1}{2}$∠FGE = 54°，所以β - 2α + $\frac{1}{2}$(α + 180° - 2β) = 54°，解得α = 24°。所以∠AEN = 2α = 48°。
(3)∠EGF = 2∠EHF。理由：因为FK平分∠CFG，EL平分∠AEG，所以可设∠CFK = ∠GFK = n，∠AEL = ∠LEG = m，如图③，过点H作HI//CD，过点G作GJ//AB。因为AB//CD，所以GJ//AB//CD//HI。所以∠JGE = ∠AEG = 2m，∠JGF = ∠CFG = 2n，∠IHK = ∠CFK = n，∠IHL = ∠AEL = m，所以∠EGF = ∠JGE - ∠JGF = 2m - 2n = 2(m - n)，∠EHF = ∠IHL - ∠IHK = m - n。所以∠EGF = 2∠EHF。