《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

典例 1 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle A B C $ 的三边,下列条件中,能够判断 $ \triangle A B C $ 为直角三角形的是( )

A.$ \angle A : \angle B : \angle C = 2 : 3 : 4 $
B.$ \angle A = 2 \angle B = 2 \angle C $
C.$ a : b : c = 2 : 2 : 3 $
D.$ a = 3 ^ { 2 } $,$ b = 4 ^ { 2 } $,$ c = 5 ^ { 2 } $
点拨 直角三角形的判断方法：可从三角形角度上进行判断,也可从三角形三边关系上进行判断。
解答：
解有所悟：已知三角形的三边长,判断是不是直角三角形,关键是看它的最长边的平方是否等于其他两边的平方和。若相等,则是直角三角形,最长边所对的角是直角；若不相等,则不是直角三角形。

答案： B

典例 2 下列各组数为勾股数的是 ( )

A.$ 7 $,$ 12 $,$ 13 $
B.$ 3 $,$ 3 $,$ 4 $
C.$ 0.3 $,$ 0.4 $,$ 0.5 $
D.$ 18 $,$ 24 $,$ 30 $
点拨 根据勾股数的特征逐项进行判断。
解答：
解有所悟：勾股数的判别方法：先看每个数是不是正整数,若有不是的,则不是勾股数；若都是正整数,再看两个较小数的平方和是不是等于最大数的平方,若是,则是勾股数；反之,则不是。

答案： D

典例 3 如图①所示为某品牌婴儿车,图②是其简化结构示意图。根据安全标准需满足 $ B C \perp C D $,现测得 $ A B = C D = 6 \mathrm { dm } $,$ B C = 3 \mathrm { dm } $,$ A D = 9 \mathrm { dm } $,其中 $ A B $ 与 $ B D $ 之间由一个固定为 $ 90 ^ { \circ } $ 的零件连接(即 $ \angle A B D = 90 ^ { \circ } $),通过计算说明该车是否符合安全标准。

点拨 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B D $ 中,由勾股定理求出 $ B D ^ { 2 } $,在 $ \triangle B C D $ 中,通过计算,根据三角形的三边关系判定是不是直角三角形即可。
解答：
解有所悟：本题巧妙地利用勾股定理和直角三角形的判别条件,通过计算求得两边的平方和等于第三边的平方,从而说明这个三角形是直角三角形,即可说明 $ B C \perp C D $。

答案： 在Rt△ABD中，由勾股定理，得$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45(dm^{2})$．在△BCD中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45(dm^{2})$．所以$BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$．所以∠BCD=90°，即BC⊥CD．所以该车符合安全标准．