《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

8.(泰安中考)如图,直线$l// m$,等边三角形$ABC的两个顶点B$,$C分别落在直线l$,$m$上.若$\angle ABE= 21^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数为( )

A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

答案： B

9.(潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架$AB与吊线FG$平行,灯杆$CD与底部支架AB所成锐角\angle \alpha=15^{\circ}$.顶部支架$EF与灯杆CD所成锐角\angle \beta=45^{\circ}$,则$EF与FG$所成锐角的度数为( )

A.$60^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： A　解析:如图，过点E作EH//AB。因为AB//FG，所以AB//EH//FG。所以∠BEH = ∠α = 15°，∠FEH + ∠EFG = 180°。因为∠β = 45°，所以∠FEH = 180° - 45° - 15° = 120°。所以∠EFG = 180° - ∠FEH = 180° - 120° = 60°，所以EF与FG所成锐角的度数为60°。

10. 新考法 过程性学习 【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线来解决.例如,如图①,$MN// PQ$,点$C$,$B分别在直线MN$,$PQ$上,点$A在直线MN$,$PQ$之间. 求证：$\angle CAB= \angle MCA+\angle PBA$.
证明：如图①,过点$A作AD// MN$.
因为$MN// PQ$,$AD// MN$,
所以$AD// MN// PQ$.
所以$\angle MCA= \angle DAC$,$\angle PBA= \angle DAB$.
所以$\angle CAB= \angle DAC+\angle DAB= \angle MCA+\angle PBA$.
【类比应用】已知直线$AB// CD$,$P$为平面内一点,连接$PA$,$PD$.
(1)如图②,$\angle A= 50^{\circ}$,$\angle D= 150^{\circ}$,求$\angle APD$的度数；
(2)如图③,设$\angle PAB= \alpha$,$\angle CDP= \beta$,直接写出$\alpha$,$\beta$,$\angle P$之间的数量关系；
(3)如图④,$AP\perp PD$,$AN与DP交于点O$,$DN平分\angle PDC$,若$\angle PAN+\frac{1}{2}\angle PAB= \angle P$,运用(2)中的结论,求$\angle N$的度数.

答案：
(1)如图，过点P作PE//AB。因为AB//CD，PE//AB，所以AB//PE//CD。所以∠APE = ∠A = 50°，∠DPE + ∠D = 180°°。所以∠DPE = 180° - 150° = 30°。所以∠APD = ∠APE + ∠DPE = 50° + 30° = 80°。
(2)α + β - ∠P = 180°。
(3)因为AP⊥PD，所以∠P = 90°。因为∠PAN + $\frac{1}{2}$∠PAB = ∠P，所以∠PAN + $\frac{1}{2}$∠PAB = 90°。因为∠POA + ∠PAN = 180° - ∠P = 90°，所以∠POA = $\frac{1}{2}$∠PAB。因为∠POA = ∠NOD，所以∠NOD = $\frac{1}{2}$∠PAB。因为DN平分∠PDC，所以∠ODN = $\frac{1}{2}$∠PDC。所以∠N = 180° - ∠NOD - ∠ODN = 180° - $\frac{1}{2}$(∠PAB + ∠PDC)。由
(2)，得∠PDC + ∠PAB - ∠P = 180°，所以∠PDC + ∠PAB = 180° + ∠P。所以∠N = 180° - $\frac{1}{2}$(∠PAB + ∠PDC) = 180° - $\frac{1}{2}$×(180° + 90°) = 45°。

11. 如图,$AB// CD$,$\angle MBN= \frac{3}{2}\angle ABM$,$\angle MDN= \frac{3}{2}\angle CDM$.试说明：$2\angle N+5\angle M= 720^{\circ}$.

答案： 如图，过点M作ME//AB，过点N作NF//AB。因为AB//CD，所以ME//AB//CD//NF。所以∠BME = ∠ABM，∠DME = ∠CDM，∠BNF + ∠ABN = 180°，∠DNF + ∠CDN = 180°。所以∠BMD = ∠BME + ∠DME = ∠ABM + ∠CDM，∠BNF + ∠ABN + ∠DNF + ∠CDN = 360°，即∠BND + ∠ABN + ∠CDN = 360°。因为∠MBN = $\frac{3}{2}$∠ABM，∠MDN = $\frac{3}{2}$∠CDM，所以∠ABN = $\frac{5}{2}$∠ABM，∠CDN = $\frac{5}{2}$∠CDM。所以∠BND + $\frac{5}{2}$∠ABM + $\frac{5}{2}$∠CDM = 360°。所以∠BND + $\frac{5}{2}$(∠ABM + ∠CDM) = 360°。所以∠BND + $\frac{5}{2}$∠BMD = 360°。所以2∠BND + 5∠BMD = 720°。