《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

17. (8分)某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图,当张角为$\angle BAF$时,顶部边缘$B处离桌面的高度BC为7\mathrm{cm}$,此时底部边缘$A处与C处间的距离AC为24\mathrm{cm}$,小组成员调整张角的大小继续探究,最后发现当张角为$\angle DAF$时($D是点B$的对应点),顶部边缘$D处到桌面的距离DE为20\mathrm{cm}$,求底部边缘$A处与E处之间的距离AE$的长.

答案： 在$\text{Rt}\triangle BCA$中,$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=24^{2}+7^{2}=625(\text{cm}^{2})$,所以$AB=25\ \text{cm}$.所以$AD=25\ \text{cm}$.在$\text{Rt}\triangle DEA$中,$AE^{2}=AD^{2}-DE^{2}=25^{2}-20^{2}=225(\text{cm}^{2})$,所以$AE=15\ \text{cm}$.所以底部边缘A处与E处之间的距离AE的长为15 cm.

18. (10分)把两个全等的直角三角形($\mathrm{Rt}\triangle ABC≌\mathrm{Rt}\triangle DAE$)按如图所示的方式放置,$\angle DAB= \angle B = 90^{\circ}$,点$E在边AB$上,现设$\mathrm{Rt}\triangle ACB两直角边CB$,$AB的长分别为b$,$a$,斜边$AC的长为c$.
(1)试说明：$AC\perp DE$；
(2)请根据图形之间的面积关系证明勾股定理.

答案： （1）因为$\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle DAE$,所以$\angle ACB=\angle DEA$.因为$\angle B=90^{\circ}$,所以$\angle ACB+\angle BAC=90^{\circ}$.所以$\angle BAC+\angle DEA=90^{\circ}$.所以$\angle AFE=180^{\circ}-\angle BAC-\angle DEA=90^{\circ}$.所以$AC\perp DE$.（2）连接EC.因为$\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle DAE$,所以$AD=AB=a$,$AE=BC=b$,$DE=AC=c$.因为$S_{\text{梯形}ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{a+b}{2}\cdot a=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab$,$S_{\triangle CBE}=\frac{1}{2}BC\cdot BE=\frac{1}{2}b\cdot(a-b)=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}$,$S_{\text{四边形}AECD}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}AF\cdot DE+\frac{1}{2}CF\cdot DE=\frac{1}{2}AC\cdot DE=\frac{1}{2}c^{2}$,所以易得$\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab$.所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

19. (10分)如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 8$,$AD = 10$,$E为BC$上一点,将$\triangle ABE沿AE$折叠,使点$B落在长方形内的点F$处,且$DF = 6$.
(1)试说明：$\triangle ADF$是直角三角形；
(2)求$BE$的长.

答案： （1）由题意,得$AF=AB=8$.因为$AF^{2}+DF^{2}=8^{2}+6^{2}=100=10^{2}=AD^{2}$,所以$\angle AFD=90^{\circ}$.所以$\triangle ADF$是直角三角形.（2）因为四边形ABCD为长方形,所以$CD=AB=8$.由折叠,可知$BE=EF$,$\angle B=\angle AFE=90^{\circ}$.又因为$\angle AFD=90^{\circ}$,所以点D,F,E在同一条直线上.设$BE=x$,则$EF=x$,$DE=6+x$,$EC=10-x$.在$\text{Rt}\triangle DCE$中,$\angle C=90^{\circ}$,所以$CE^{2}+CD^{2}=DE^{2}$,即$(10-x)^{2}+8^{2}=(6+x)^{2}$.所以$x=4$,即$BE=4$.