《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

典例1 如图,$E是正方形ABCD$内一点,$\angle AEB= 90^{\circ}$。若$AE= 2$,$BE= 3$,则正方形$ABCD$的面积为( )


A.10
B.13
C.36
D.169
点拨 在直角三角形中,利用勾股定理求出$AB^{2}$即可得出答案。
解答：
解有所悟：勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系,只要知道直角三角形中的任意两条边的长就可以求出第三条边的长。

答案： B

典例2 如图,在长方形$ACDF$中,$AC= DF$,点$B在CD$上,点$E在DF$上,$BC= DE= a$,$AC= BD= b$,$AB= BE= c$,且$AB\perp BE$。
(1)在探究长方形$ACDF的面积S$时,我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽,然后利用长方形的面积公式,就可以得到$S$；另一种是将长方形$ACDF看成是由\triangle ABC$,$\triangle BDE$,$\triangle AEF$,$\triangle ABE$组成的,分别求出它们的面积,再相加也可以得到$S$。
请根据以上方法,填空：
方法一：$S= $______；
方法二：$S= S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BDE}+S_{\triangle AEF}+S_{\triangle ABE}= ab+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}c^{2}$。
(2)由于(1)中的两种方法表示的都是长方形$ACDF$的面积,因此它们应该相等,请利用以上结论求$a$,$b$,$c$之间的等量关系。
(3)请直接运用(2)中的结论,当$c= 10$,$a= 6$时,求$S$的值。

点拨 (1)根据长方形的面积公式求解；(2)根据长方形的面积等于4个三角形的面积和,列式化简即可；(3)将$a$,$c的值代入计算可求解b$的值,进而可求解$S$的值。
解答：
解有所悟：勾股定理的验证方法很多,其中拼图法(割补法)是最常用的方法。其验证思路：利用同一种图形面积的不同表示方法列出等式,再利用等式的性质变形即可。

答案： （1）$ab+b^{2}$.（2）根据题意，得$ab+b^{2}=ab+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}c^{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.（3）因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，且$c=10$，$a=6$，所以$6^{2}+b^{2}=10^{2}$.所以$b=8$.所以$S=ab+b^{2}=6×8+8^{2}=112$.