《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

12. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = A C $,$ E $ 是 $ A C $ 上的一点,$ C E = 5 $,$ B C = 13 $,$ B E = 12 $。
(1)判断 $ \triangle A B E $ 的形状,并说明理由；
(2)求线段 $ A B $ 的长。

答案： （1）△ABE是直角三角形．理由：因为BC=13，BE=12，CE=5，所以$BE^{2}+CE^{2}=12^{2}+5^{2}=169=BC^{2}$．所以△BCE是直角三角形，且∠BEC=90°．所以∠AEB=90°．所以△ABE是直角三角形．（2）设AB=AC=x，则AE=x-5．由（1），得△ABE是直角三角形，所以由勾股定理，得$BE^{2}+AE^{2}=AB^{2}$，即$12^{2}+(x-5)^{2}=x^{2}$，解得x=16.9．所以线段AB的长为16.9．

13. (济宁中考)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是 $ 1 $ 个单位长度,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $,$ E $ 均在小正方形的顶点上,线段 $ A B $,$ C D $ 交于点 $ F $。若 $ \angle C F B = \alpha $,则 $ \angle A B E $ 的度数为 ( )

A.$ 180 ^ { \circ } - \alpha $
B.$ 180 ^ { \circ } - 2 \alpha $
C.$ 90 ^ { \circ } + \alpha $
D.$ 90 ^ { \circ } + 2 \alpha $

答案：
C 解析：如图，过点B作BG//CD，连接EG．由BG//CD，得∠ABG=∠CFB=α．根据勾股定理，得$BG^{2}=17$，$BE^{2}=17$，$EG^{2}=34$，则$BG^{2}+BE^{2}=EG^{2}$，所以∠GBE=90°．所以∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α．

14. 勾股定理最早出现在我国古代数学著作《周髀算经》中：“勾广三,股修四,经隅五。”观察下列勾股数：$ 3 $,$ 4 $,$ 5 $；$ 5 $,$ 12 $,$ 13 $；$ 7 $,$ 24 $,$ 25 $；…$ $,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差为 $ 1 $。柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为 $ 2 $ 的一类勾股数,如 $ 6 $,$ 8 $,$ 10 $；$ 8 $,$ 15 $,$ 17 $；…$ $,若此类勾股数的勾为 $ 12 $,则其弦是____。

答案： 37

15. 如图,$ \angle A B C = 90 ^ { \circ } $,$ A B = 6 $,$ A D = 24 $,$ B C + C D = 34 $,$ C $ 是直线 $ l $ 上一动点,当 $ B C $ 的长为多少时,$ \triangle A C D $ 是一个以 $ C D $ 为斜边的直角三角形？

答案： 设当BC=x时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形．因为BC+CD=34，所以CD=34-x．在Rt△ABC中，$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=36+x^{2}$，在Rt△ACD中，$AC^{2}=CD^{2}-AD^{2}=(34-x)^{2}-576$，所以$36+x^{2}=(34-x)^{2}-576$，解得x=8．所以当BC的长为8时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形．