《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

20. (10 分)在 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle A = 90 ^ { \circ } $,$ A B = A C $,$ D $ 为 $ B C $ 的中点.
(1)如图①,若 $ E $,$ F $ 分别为 $ A B $,$ A C $ 上的点,且 $ D E \perp D F $,则 $ B E $ 与 $ A F $ 相等吗？为什么？
(2)若 $ E $,$ F $ 分别为 $ A B $,$ C A $ 延长线上的点,且 $ D E \perp D F $,则 $ B E $ 与 $ A F $ 相等吗？请将图②补全,再说明理由.

答案：

(1)BE=AF. 如图①,连接 AD. 因为 AB=AC,所以△ABC 为等腰三角形. 因为 D 为 BC 的中点,所以 AD 为△ABC 的中线、高、角平分线. 所以∠BDA=90°,∠BAD=∠CAD. 因为 DE⊥DF,所以∠BDA=∠EDF=90°. 所以∠BDA - ∠EDA=∠EDF - ∠EDA,即∠BDE=∠ADF. 因为 AB=AC,∠BAC=90°,所以∠BAD=∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°,∠B=∠C=45°. 过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,则∠AMD=∠BMD=90°. 在△AMD 和△BMD 中,因为∠MAD=∠B,∠AMD=∠BMD,DM=DM,所以△AMD≌△BMD. 所以 AD=BD. 在△BDE 和△ADF 中,因为∠B=∠DAF,BD=AD,∠BDE=∠ADF,所以△BDE≌△ADF. 所以 BE=AF.
(2)BE=AF. 补全图形如图②所示. 理由:如图②,连接 AD. 由
(1),得∠BDA=∠EDF=90°,BD=AD,∠ABC=∠DAC=45°,所以易得∠BDE=∠ADF,∠EBD=∠FAD=180° - 45°=135°. 在△BDE 和△ADF 中,因为∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠BDE=∠ADF,所以△BDE≌△ADF. 所以 BE=AF.

21. (12 分)如图①,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ A B = B C $,$ A C = 2 $,将一块含 $ 30 ^ { \circ } $ 角的直角三角尺 $ D E F $ 的直角顶点 $ D $ 放在 $ A C $ 的中点上(直角三角尺的短直角边为 $ D E $,长直角边为 $ D F $),点 $ C $ 在 $ D E $ 上,点 $ B $ 在 $ D F $ 上.
(1)求重叠部分 $ \triangle B C D $ 的面积.
(2)如图②,将直角三角尺 $ D E F $ 绕点 $ D $ 按顺时针方向旋转 $ 30 ^ { \circ } $,$ D E $ 交 $ B C $ 于点 $ M $,$ D F $ 交 $ A B $ 于点 $ N $.
① 试说明：$ D M = D N $.
② 在此条件下,重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化,请求出重叠部分的面积；若不发生变化,请说明理由.
(3)如图③,将直角三角尺 $ D E F $ 绕点 $ D $ 按顺时针方向旋转 $ \alpha ^ { \circ } ( 0 ＜ \alpha ＜ 90 ) $,$ D E $ 交 $ B C $ 于点 $ M $,$ D F $ 交 $ A B $ 于点 $ N $,则 $ D M = D N $ 的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗(直接写出结论,不需要说明理由)？

答案：
(1)因为 AB=BC,AC=2,∠ABC=90°,D 是 AC 的中点,所以 CD=$\frac{1}{2}$AC=1,∠A=∠BCD=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC)=45°,BD⊥AC. 所以∠CBD=90° - ∠BCD=45°. 所以∠CBD=∠BCD. 所以易得 BD=CD=1. 所以 S△BCD=$\frac{1}{2}$CD·BD=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$.
(2)①连接 BD. 由
(1),可知∠BDC=∠EDF=90°,CD=BD,∠C=∠CBD=45°,所以∠C=∠NBD=45°,∠BDC - ∠BDM=∠EDF - ∠BDM,即∠CDM=∠BDN. 在△CDM 和△BDN 中,因为∠C=∠NBD,CD=BD,∠CDM=∠BDN,所以△CDM≌△BDN. 所以 DM=DN. ②不发生变化. 理由:由①,知△CDM≌△BDN,所以 S四边形BNDM=S△BDN+S△BDM=S△CDM+S△BDM=S△BCD=$\frac{1}{2}$,即在此条件下,重叠部分的面积不变,为$\frac{1}{2}$.
(3)DM=DN 的结论仍成立,重叠部分的面积不会变.