《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学北师大版延边大学出版社》

20. *(10分)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle B= 80^{\circ}$。
(1)求$\angle BAD$的度数。
(2)$AE平分\angle BAD交BC于点E$,$\angle BCD= 50^{\circ}$。试判断$AE与DC$的位置关系,并说明理由。

答案：
(1)因为AD//BC,所以∠B+∠BAD=180°.因为∠B=80°,所以∠BAD=100°.
(2)AE//DC.理由:由
(1),得∠BAD=100°.因为AE平分∠BAD,所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=50°.因为AD//BC,所以∠AEB=∠DAE=50°.因为∠BCD=50°,所以∠AEB=∠BCD.所以AE//DC.

21. (14分)(1)问题发现：如图①,直线$AB// CD$,连接$BE$,$CE$,可以发现$\angle BEC= \angle B+\angle C$。请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点$E作EF// AB$,
所以$\angle B= \angle BEF$( )。
因为$AB// DC$,$EF// AB$,
所以$EF// DC$( )。
所以$\angle C= \angle CEF$。
因为$\angle B+\angle C= $( + ),
所以$\angle BEC= \angle B+\angle C$(等量代换)。
(2)探究：如果点$E$运动到图②所示的位置,其他条件不变,试说明$\angle B+\angle C= 360^{\circ}-\angle BEC$。
(3)解决问题：如图③,$AB// DC$,$E$,$F是AB与CD$之间的点,请求出$\angle B$,$\angle E$,$\angle F$,$\angle D$之间的数量关系。

答案：
(1)两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠BEF;∠CEF.
(2)过点E作EF//AB.因为AB//CD,所以AB//CD//EF.所以∠B+∠BEF=180°,∠C+∠CEF=180°.所以∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°.所以∠B+∠C+∠BEC=360°.所以∠B+∠C=360°−∠BEC.
(3)如图,过点E作EG//AB,过点F作FH//CD.因为AB//CD,所以EG//AB//FH//CD.所以∠B=∠1,∠2=∠3.所以∠1+∠2=∠B+∠3.所以∠BEF=∠B+∠3,即∠3=∠BEF−∠B.因为∠4+∠D=180°,所以∠4=180°−∠D.所以∠3+∠4=∠BEF−∠B+180°−∠D.所以∠EFD=∠BEF−∠B+180°−∠D,即∠B+∠D+∠EFD−∠BEF=180°.