《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 下列四幅图中,运用了转化策略的一共有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： D

2. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },BE平分∠ABC,ED⊥AB$。若$AC= 10cm$,则$AE+DE= $ ()

A. 6 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 12 cm

答案： C

3. 如图,在$△ABC$中,已知 O 是边 AB,AC 的垂直平分线的交点,E 是$∠ABC,∠ACB$的平分线的交点。若$∠O+∠E= 180^{\circ }$,则$∠A= $______°。

答案： $20$

4. (1)如图①,点 P 关于射线 OM,ON 的对称点分别是 G,H,连接 OG,OH,OP。
①若$∠MON= 50^{\circ }$,则$∠GOH= $______°。
②已知$PO= 5$,连接 GH。当$∠MON= $______°时,$GH= 10$。
(2)如图②,已知$∠MON= 60^{\circ }$,A,B 分别是射线 OM,ON 上的任意一点。当$△PAB$的周长最小时,求$∠APB$的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$ ①
- 因为点$P$关于射线$OM$，$ON$的对称点分别是$G$，$H$，根据对称的性质可知$OM$是$PG$的垂直平分线，$ON$是$PH$的垂直平分线。
- 所以$\angle GOM=\angle MOP$，$\angle PON = \angle NOH$。
- 已知$\angle MON=\angle MOP+\angle PON = 50^{\circ}$，则$\angle GOH=\angle GOM+\angle MOP+\angle PON+\angle NOH = 2(\angle MOP+\angle PON)=2\angle MON$。
- 把$\angle MON = 50^{\circ}$代入可得$\angle GOH = 100^{\circ}$。
### $(1)$ ②
- 因为点$P$关于射线$OM$，$ON$的对称点分别是$G$，$H$，所以$OG = OP$，$OH = OP$（对称点到对称轴上的点的距离相等），已知$PO = 5$，则$OG=OH = 5$。
- 若$GH = 10$，则$OG + OH=GH$，此时$G$，$O$，$H$三点共线。
- 又因为$\angle GOH = 2\angle MON$，所以$\angle MON = 90^{\circ}$。
### $(2)$
- 作点$P$关于$OM$的对称点$G$，关于$ON$的对称点$H$，连接$GH$，分别交$OM$、$ON$于$A$、$B$两点，此时$\triangle PAB$的周长最小（两点之间线段最短）。
- 由对称性质可知$OA$垂直平分$PG$，$OB$垂直平分$PH$，所以$PA = GA$，$PB = HB$。
- 则$\angle G=\angle GPA$，$\angle H=\angle HPB$。
- 因为$\angle MON = 60^{\circ}$，$\angle GOH = 2\angle MON$（同$(1)$①的原理），所以$\angle GOH = 120^{\circ}$。
- 在$\triangle GOH$中，$\angle G+\angle H=180^{\circ}-\angle GOH = 180^{\circ}- 120^{\circ}=60^{\circ}$。
- 而$\angle APB=\angle GPA+\angle HPB+\angle GPH=\angle G+\angle H$（等量代换），所以$\angle APB = 60^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ ①$\boldsymbol{100}$ ②$\boldsymbol{90}$
$(2)$$\boldsymbol{60^{\circ}}$