《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 下列计算正确的是()
A. $a^{6}÷ a^{3}= a^{2}$
B. $(-a^{2}b^{3})^{2}= a^{4}b^{9}$
C. $3b^{3}\cdot 2b^{2}= 6b^{5}$
D. $2a^{2}-a^{2}= 2$

答案： C

2. 计算：$(3x^{3}+6x^{2}-2x)÷ 2x= ()$
A. $3x^{2}+3x - 1$
B. $\frac{3}{2}x^{2}+3x$
C. $\frac{3}{2}x^{2}+3x + 1$
D. $\frac{3}{2}x^{2}+3x - 1$

答案： D

3. 计算：$3a^{2}\cdot (-2ab^{3})= $______。

答案： $-6a^{3}b^{3}$

4. 若$m + n = - 2$,$mn = - 2$,则$(1 - m)(1 - n)$的值为______。

答案： $1$

5. 将一块边长为$5a^{3}cm的正方形纸板的四个角分别剪去一个边长为a^{3}cm$的小正方形,剩余部分折成一个无盖的盒子,该盒子的容积为______$cm^{3}$。

答案： $9a^{9}$

6. 计算：
(1) $(-\frac{3}{4}m^{3}n^{5})÷ \frac{3}{2}mn^{4}$；
(2) $a^{2}b^{3}c÷ (-ab^{2})$；
(3) $(-64x^{4}y^{3})÷ (-2xy)^{3}$。

答案： 【解析】：1. 对于$(-\frac{3}{4}m^{3}n^{5})\div\frac{3}{2}mn^{4}$，根据单项式除以单项式的法则，系数相除，同底数幂分别相除。系数$-\frac{3}{4}\div\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}$，$m^{3}\div m = m^{3 - 1}=m^{2}$，$n^{5}\div n^{4}=n^{5 - 4}=n$，所以结果为$-\frac{1}{2}m^{2}n$。
2. 对于$a^{2}b^{3}c\div(-ab^{2})$，系数$1\div(-1)= - 1$，$a^{2}\div a = a^{2 - 1}=a$，$b^{3}\div b^{2}=b^{3 - 2}=b$，$c$照写，所以结果为$-abc$。
3. 先计算$(-2xy)^{3}=(-2)^{3}x^{3}y^{3}=-8x^{3}y^{3}$，则$(-64x^{4}y^{3})\div(-2xy)^{3}=(-64x^{4}y^{3})\div(-8x^{3}y^{3})$，系数$-64\div(-8)=8$，$x^{4}\div x^{3}=x^{4 - 3}=x$，$y^{3}\div y^{3}=1$，所以结果为$8x$。
【答案】：1.$-\frac{1}{2}m^{2}n$ 2.$-abc$ 3.$8x$

7. 先化简,再求值：$2x^{2}y - 3x(2xy - y^{2}) + 2(-xy^{2}+3x^{2}y)$,其中$x$,$y满足\vert x - \frac{2}{3}\vert+(y + 2)^{2}= 0$。

答案： 【解析】：
1. 首先化简式子$2x^{2}y - 3x(2xy - y^{2})+2(-xy^{2}+3x^{2}y)$：
根据单项式乘多项式法则$a(b + c)=ab+ac$，对式子展开：
$2x^{2}y-3x(2xy - y^{2})+2(-xy^{2}+3x^{2}y)=2x^{2}y-(6x^{2}y - 3xy^{2})+(-2xy^{2}+6x^{2}y)$。
去括号得$2x^{2}y - 6x^{2}y+3xy^{2}-2xy^{2}+6x^{2}y$。
然后合并同类项：
合并$x^{2}y$的同类项：$(2 - 6 + 6)x^{2}y=2x^{2}y$；
合并$xy^{2}$的同类项：$(3 - 2)xy^{2}=xy^{2}$。
所以化简结果为$2x^{2}y+xy^{2}$。
2. 接着根据$\vert x-\frac{2}{3}\vert+(y + 2)^{2}=0$求$x$，$y$的值：
因为绝对值具有非负性，即$\vert x-\frac{2}{3}\vert\geq0$，一个数的平方也具有非负性，即$(y + 2)^{2}\geq0$。
两个非负数的和为$0$，则这两个非负数分别为$0$，所以可得$\vert x-\frac{2}{3}\vert = 0$且$(y + 2)^{2}=0$。
由$\vert x-\frac{2}{3}\vert = 0$，解得$x-\frac{2}{3}=0$，即$x=\frac{2}{3}$；由$(y + 2)^{2}=0$，解得$y+2 = 0$，即$y=-2$。
3. 最后把$x=\frac{2}{3}$，$y = - 2$代入化简后的式子$2x^{2}y+xy^{2}$求值：
$2x^{2}y+xy^{2}=xy(2x + y)$。
把$x=\frac{2}{3}$，$y=-2$代入$xy(2x + y)$得：
$\frac{2}{3}\times(-2)\times(2\times\frac{2}{3}-2)$
先计算括号内的值：$2\times\frac{2}{3}-2=\frac{4}{3}-2=\frac{4 - 6}{3}=-\frac{2}{3}$。
再计算乘法：$\frac{2}{3}\times(-2)\times(-\frac{2}{3})=\frac{8}{9}$。
【答案】：化简结果为$2x^{2}y+xy^{2}$，值为$\frac{8}{9}$

8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”。例如：$4 = 2^{2}-0^{2}$,$12 = 4^{2}-2^{2}$,$20 = 6^{2}-4^{2}$,我们称$4$,$12$,$20$这三个数为“神秘数”。
(1) $36$是“神秘数”吗？请说明理由。
(2) “神秘数”一定是$4$的倍数吗？若是,请说明理由；若不是,请举出一个反例。

答案： 【解析】：1. 对于（1），设两个连续偶数分别为$2k + 2$和$2k$（$k$为非负整数），根据“神秘数”的定义，计算$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}$，若结果能等于$36$，则$36$是“神秘数”。
先对$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}$进行化简：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}=(4k^{2}+8k + 4)-4k^{2}$。
去括号得$4k^{2}+8k + 4 - 4k^{2}=8k + 4$。
令$8k + 4 = 36$，则$8k=36 - 4=32$，解得$k = 4$。
当$k = 4$时，$2k=8$，$2k + 2 = 10$，$36=10^{2}-8^{2}$，所以$36$是“神秘数”。
2. 对于（2），由前面化简得到“神秘数”的表达式为$8k + 4$（$k$为非负整数），对$8k + 4$进行变形可得$8k + 4=4(2k + 1)$。
因为$k$为非负整数，所以$2k + 1$是正整数，那么$4(2k + 1)$一定是$4$的倍数，即“神秘数”一定是$4$的倍数。
【答案】：1. $36$是“神秘数”，理由：设两个连续偶数为$2k + 2$和$2k$（$k$为非负整数），$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}=8k + 4$，令$8k + 4 = 36$，解得$k = 4$，此时$36 = 10^{2}-8^{2}$。 2. “神秘数”一定是$4$的倍数，理由：“神秘数”可表示为$8k + 4=4(2k + 1)$（$k$为非负整数），$2k + 1$是正整数，所以“神秘数”一定是$4$的倍数。