《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 下列计算正确的是()
A. $a^{2}+a^{3}= a^{5}$
B. $(a + 2)^{2}= a^{2}+2a + 4$
C. $(-2a^{2}b^{3})^{3}= -8a^{6}b^{9}$
D. $a^{12}÷ a^{6}= a^{2}$

答案： C

2. 如图,两个平面镜平行放置,光线经过平面镜反射时,$\angle 1= \angle 2$,$\angle 3= \angle 4$。若$\angle 1 = 40^{\circ}$,则$\angle 5 = ()$

A. $80^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $100^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

答案： C

3. 化简：$(3a^{5}b^{3}+a^{6}b^{2}-a^{4}b^{4})÷ (-a^{2}b)^{2}-(a + 2b)(2a - b)= $____。

答案： $-a^{2}+b^{2}$

4. 若$(ax + 3)(6x^{2}-2x + 1)的展开式中不含x$的二次项,则$a$的值是____。

答案： $9$

5. 一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种颜色的小球,这些球除颜色外都相同。从袋子中摸出$1$个球,红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖,黑色代表未中奖。
(1)若小明获得一次抽奖机会,则小明中奖是____(填“随机”“必然”或“不可能”)事件。
(2)小明观察后发现,平均每$8个人中会有1$人抽中一等奖,$2$人抽中二等奖,$3$人未中奖。若袋中共有$24$个球,请你估算袋中白球的数量。

答案： 【解析】：1. 对于（1），因为从袋子中摸球，有可能中奖也有可能不中奖，结果是不确定的，所以小明中奖是随机事件。
2. 对于（2），已知平均每$8$个人中会有$1$人抽中一等奖，$2$人抽中二等奖，$3$人未中奖，那么抽中三等奖（白球代表三等奖）的人数为$8 - 1 - 2 - 3 = 2$人。所以抽中三等奖的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。因为袋中共有$24$个球，根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$发生的总数，$n$是总事件发生的总数），设袋中白球的数量为$x$个，则$\frac{x}{24}=\frac{1}{4}$，解得$x = 6$。
【答案】：1. 随机 2. $6$

6. 如图,已知$AB// CD$,$M$,$N分别是AB$,$CD$上的两点,点$G在AB$,$CD$之间,连接$MG$,$NG$。
(1)如图①,$P是CD$下方一点,$MG平分\angle BMP$,$ND平分\angle GNP$,已知$\angle BMG = 30^{\circ}$,求$\angle MGN+\angle MPN$的度数。
(2)如图②,$E是AB$上方一点,连接$EM$,$EN$,且$GM的延长线MF平分\angle AME$,$NE平分\angle CNG$,$2\angle MEN+\angle MGN = 105^{\circ}$,求$\angle AME$的度数。

答案： 【解析】：
(1)
过$G$作$GH// AB$，过$P$作$PQ// AB$。
因为$AB// CD$，所以$AB// GH// CD$，$AB// PQ// CD$。
因为$MG$平分$\angle BMP$，$\angle BMG = 30^{\circ}$，所以$\angle BMP=2\angle BMG = 60^{\circ}$，$\angle PMG=\angle BMG = 30^{\circ}$。
设$\angle GND=\angle PND=x$。
因为$AB// GH// CD$，所以$\angle BMG=\angle MGH = 30^{\circ}$，$\angle GND=\angle HGN=x$，则$\angle MGN=\angle MGH+\angle HGN=30^{\circ}+x$。
因为$AB// PQ// CD$，所以$\angle MPQ=\angle BMP = 60^{\circ}$，$\angle QPN=\angle PND=x$，则$\angle MPN=\angle MPQ-\angle QPN=60^{\circ}-x$。
所以$\angle MGN+\angle MPN=(30^{\circ}+x)+(60^{\circ}-x)=90^{\circ}$。
(2)
过$G$作$GH// AB$，过$E$作$EK// AB$。
因为$AB// CD$，所以$AB// GH// CD$，$AB// EK// CD$。
设$\angle AMF=\angle EMF = y$，$\angle CNE=\angle GNE = z$。
因为$AB// GH// CD$，所以$\angle AMG+\angle MGH = 180^{\circ}$，$\angle HGN+\angle CNG = 180^{\circ}$，$\angle MGN=\angle MGH+\angle HGN=180^{\circ}-\angle AMG + 180^{\circ}-\angle CNG$。
又因为$\angle AMG = 180^{\circ}-2y$，$\angle CNG = 2z$，所以$\angle MGN=2y - 2z$。
因为$AB// EK// CD$，所以$\angle MEK=\angle AME = 2y$，$\angle KEN=\angle CNE = z$，则$\angle MEN=\angle MEK-\angle KEN=2y - z$。
已知$2\angle MEN+\angle MGN = 105^{\circ}$，即$2(2y - z)+(2y - 2z)=105^{\circ}$，化简得$6y-4z = 105^{\circ}$，$3y - 2z=\frac{105^{\circ}}{2}$。
而$\angle AME = 2y$，由$\angle MGN=2y - 2z$，$\angle MEN=2y - z$可得：
$2\angle MEN-\angle MGN=(4y - 2z)-(2y - 2z)=2y$，因为$2\angle MEN+\angle MGN = 105^{\circ}$，$2\angle MEN-\angle MGN=\angle AME$，两式相加得$4\angle MEN=105^{\circ}+\angle AME$。
又因为$\angle MGN=2y - 2z$，$\angle MEN=2y - z$，$2\angle MEN+\angle MGN = 105^{\circ}$，即$2(2y - z)+(2y - 2z)=105^{\circ}$，$6y-4z = 105^{\circ}$，$3y - 2z=\frac{105^{\circ}}{2}$。
由$\angle MGN = 2y-2z$，$\angle MEN=2y - z$，$2\angle MEN+\angle MGN = 105^{\circ}$，将$\angle MEN = 2y - z$，$\angle MGN=2y - 2z$代入可得：
$2(2y - z)+(2y - 2z)=105^{\circ}$，$6y - 4z=105^{\circ}$，$3y-2z = 52.5^{\circ}$。
因为$\angle AME = 2y$，$\angle MGN=2y - 2z$，$\angle MEN=2y - z$，$2\angle MEN+\angle MGN = 105^{\circ}$，即$2(2y - z)+(2y - 2z)=105^{\circ}$，$6y-4z = 105^{\circ}$，$3y - 2z=\frac{105^{\circ}}{2}$。
又因为$\angle AME = 2y$，$2\angle MEN+\angle MGN = 105^{\circ}$，$\angle MEN=\frac{1}{2}(\angle AME + \angle MGN)$，代入可得$2\times\frac{1}{2}(\angle AME + \angle MGN)+\angle MGN = 105^{\circ}$，$\angle AME+2\angle MGN = 105^{\circ}$，再结合$\angle MGN=2y - 2z$，$\angle AME = 2y$，$3y - 2z = 52.5^{\circ}$，$y = 35^{\circ}$，所以$\angle AME = 70^{\circ}$。
【答案】：
(1)$90^{\circ}$
(2)$70^{\circ}$