《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 下列运算正确的是()
A. $a^{2}-a = a$
B. $a\cdot a^{2}= a^{3}$
C. $(a^{2})^{3}= a^{5}$
D. $(2ab^{2})^{3}= 6a^{3}b^{6}$

答案： B

2. 在同一平面内,将直尺、含$30^{\circ}角的三角尺和木工角尺(CD\perp DE)$按如图所示的方式摆放。若$AB// CD$,则$\angle 1= $______$^{\circ}$。

答案： $30$

3. 计算:$(\pi - 3)^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}= $______。

答案： $3$

4. 如图,直线$a// b$,直线$l\perp a$。若$\angle 1 = 120^{\circ}$,则$\angle 2= $______$^{\circ}$。

答案： $30$

5. 一个不透明的袋子中有若干个白球和绿球,它们除颜色外都相同。若从中随机摸出一个球,恰好摸到绿球的概率是$\frac{3}{5}$,则袋子中至少有______个绿球。

答案： 3

6. 先化简,再求值:$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]÷ 2b$,其中$a = 2$,$b = -1$。

答案： 【解析】：
本题可先根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$和平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$对中括号内的式子进行化简，再进行除法运算，最后将$a$、$b$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]$。**
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，可得$(2a + b)^{2}=(2a)^{2}+2\times 2a\times b + b^{2}=4a^{2}+4ab + b^{2}$。
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，可得$(2a + b)(2a - b)=(2a)^{2}-b^{2}=4a^{2}-b^{2}$。
将上述结果代入原式可得：
$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]=(4a^{2}+4ab + b^{2})-(4a^{2}-b^{2})$
去括号：$4a^{2}+4ab + b^{2}-4a^{2}+b^{2}$
合并同类项：$(4a^{2}-4a^{2})+4ab + (b^{2}+b^{2}) = 4ab + 2b^{2}$。
- **步骤二：计算$(4ab + 2b^{2})\div 2b$。**
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加，可得：
$(4ab + 2b^{2})\div 2b = 4ab\div 2b + 2b^{2}\div 2b = 2a + b$。
- **步骤三：代入求值。**
将$a = 2$，$b = -1$代入$2a + b$，可得：
$2\times 2 + (-1)=4 - 1 = 3$。
【答案】：3

7. 某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,如图所示,并规定:顾客一次性消费300元及以上,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准九折、八折、七折区域,那么顾客就可以获得对应的优惠;如果指针恰好停在分割线上,那么需重新转动转盘。
(1)某顾客正好消费220元,他可以转动转盘吗?
(2)某顾客正好消费420元,他转一次转盘,获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少?
(3)某顾客消费时获得了一次转动转盘的机会,实际付费252元,该顾客所购物品的原价应为多少元?

答案： 【解析】：
(1) 因为商场规定顾客一次性消费$300$元及以上才能获得转动转盘的机会，而该顾客消费$220$元，$220\lt300$，所以他不可以转动转盘。
(2) 整个转盘为$360^{\circ}$。
九折区域：已知有两个九折区域，每个区域圆心角为$90^{\circ}$，所以九折区域圆心角之和为$90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$。根据概率公式$P(A)=\frac{构成事件A的区域角度}{试验的全部结果所构成的区域角度}$，则获得九折优惠的概率$P(九折)=\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{1}{2}$。
八折区域：有两个八折区域，每个区域圆心角为$60^{\circ}$，八折区域圆心角之和为$60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$，所以获得八折优惠的概率$P(八折)=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{1}{3}$。
七折区域：有两个七折区域，每个区域圆心角为$(360^{\circ}-180^{\circ}-120^{\circ})\div2 = 30^{\circ}$，七折区域圆心角之和为$30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$，所以获得七折优惠的概率$P(七折)=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{1}{6}$。
(3) 设该顾客所购物品的原价为$x$元。
若获得九折优惠，则$0.9x = 252$，解得$x = 280$元。
若获得八折优惠，则$0.8x = 252$，解得$x=\frac{252}{0.8}=315$元。
若获得七折优惠，则$0.7x = 252$，解得$x=\frac{252}{0.7}=360$元。
【答案】：
(1) 不可以。
(2) $P(九折)=\frac{1}{2}$，$P(八折)=\frac{1}{3}$，$P(七折)=\frac{1}{6}$。
(3) $280$元或$315$元或$360$元。