《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 四条直线a,b,c,d互不重合,如果$a// b,b// c,c// d$,那么直线a,d的位置关系为____(填“平行”或“相交”)。

答案： 平行

2. 如图,若$AB// CD,CD// EF$,则AB与EF的位置关系是____(填“平行”或“相交”)。

答案： 平行

3. 如图,直线AB,CD相交于点O,已知$∠AOC= 75^{\circ }$,OE把$∠BOD$分成两部分,且$∠BOE:∠EOD= 3:2$,则$∠EOD= $____$^{\circ }$。

答案： $30$

4. 如图,点P在$∠AOB$的边OA上。按要求用尺规作图,并回答问题。
(1)过点P作OA的垂线l。
(2)过点P作OB的垂线段PD。
(3)过点O作PD的平行线,交l于点E,并比较线段OP,PD,OE的长短:____(用“＞”连接)。

答案： 【解析】：
(1) 以点$P$为圆心，任意长为半径画弧，交$OA$于两点$M$、$N$；分别以$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧相交于点$Q$；作直线$PQ$，则直线$PQ$就是过点$P$作$OA$的垂线$l$。
(2) 以点$P$为圆心，适当长为半径画弧，交$OB$于两点$C$、$D$；分别以$C$、$D$为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧相交于点$F$；作射线$PF$交$OB$于点$D$，则$PD$就是过点$P$作$OB$的垂线段。
(3) 以点$O$为圆心，以$PD$的长为半径画弧，再以点$P$为圆心，以$OD$的长为半径画弧，两弧相交于点$E$（在$l$上），连接$OE$，则$OE// PD$。
因为$PD\perp OB$，根据垂线段最短，所以$PD\lt OP$；
因为$OE// PD$，$l\perp OA$，所以$\angle OPE = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle OPE$中，$OP$是斜边，$OE$是直角边，所以$OP\gt OE$；
又因为$PD$和$OE$的长度关系：由于$OE// PD$，$\angle ODP=\angle DEO = 90^{\circ}$，四边形$PDOE$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），所以$PD = OE$（这里错误，重新分析：因为$OE// PD$，$\angle ODP = 90^{\circ}$，$\angle OEP=90^{\circ}$，$\triangle OPD$面积$S=\frac{1}{2}OB\times PD=\frac{1}{2}OA\times$（$P$到$OA$距离，这里$l\perp OA$，设$OA$、$OB$夹角为$\alpha$，$\sin\alpha=\frac{PD}{OP}$，$\cos\alpha=\frac{OE}{OP}$，$PD = OP\sin\alpha$，$OE = OP\cos\alpha$，因为$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin(\alpha + 45^{\circ})\leq\sqrt{2}$，且$0\lt\alpha\lt180^{\circ}$，当$\alpha = 45^{\circ}$时，$\sin\alpha=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，一般情况$\sin\alpha\lt\cos\alpha$（$0\lt\alpha\lt45^{\circ}$）或$\sin\alpha\gt\cos\alpha$（$45^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$），这里根据垂线段最短及直角三角形斜边大于直角边：
因为$PD\perp OB$，所以$PD\lt OP$；
因为$OE// PD$，$l\perp OA$，$\angle OPE = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle OPE$中，$\angle EOP$与$\angle AOB$相等，$\sin\angle EOP=\frac{PE}{OP}$，$\cos\angle EOP=\frac{OE}{OP}$，$PD = OP\sin\angle AOB$，$OE = OP\cos\angle AOB$（$\angle AOB$为锐角），$\sin\angle AOB\lt1$，$\cos\angle AOB\lt1$，且$PD\perp OB$，$OE$是由平行关系得到，根据垂线段最短$PD\lt OE$（错误，重新：
因为$PD\perp OB$，$OE// PD$，$l\perp OA$，$\angle ODP = 90^{\circ}$，$\angle OEP = 90^{\circ}$，$OP$为$\triangle OPD$斜边，所以$OP\gt PD$；$OP$为$\triangle OPE$斜边，$OE$为直角边，所以$OP\gt OE$；
又因为$\angle ODP=\angle DEO = 90^{\circ}$，$OE// PD$，$\angle DOP+\angle OPE = 180^{\circ}$（同旁内角互补），$\angle OPE = 90^{\circ}$，所以$\angle DOP = 90^{\circ}$，四边形$PDOE$是矩形（错误，重新：
过$O$作$PD$平行线$OE$交$l$于$E$，$\angle ODP = 90^{\circ}$，$\angle OEP = 90^{\circ}$，
$OP$是$Rt\triangle OPD$斜边，$PD$是直角边，所以$OP\gt PD$；
$OP$是$Rt\triangle OPE$斜边，$OE$是直角边，所以$OP\gt OE$；
因为$PD\perp OB$，$OE// PD$，$\angle AOB$为$\angle AOE$与$\angle EOB$组成（错误，正确：
根据垂线段最短$PD\lt OP$，
因为$OE// PD$，$l\perp OA$，设$\angle AOB=\theta$，$\sin\theta=\frac{PD}{OP}$，$\cos\theta=\frac{OE}{OP}$（$\theta$为锐角），$\sin\theta\lt\cos\theta$（$\theta\lt45^{\circ}$不成立，重新：
因为$PD\perp OB$，$OE// PD$，$l\perp OA$，
$OP$是$Rt\triangle OPD$斜边，所以$OP\gt PD$；
$OP$是$Rt\triangle OPE$斜边，$OE$是直角边，所以$OP\gt OE$；
又因为$\angle ODP = \angle OEP = 90^{\circ}$，$\angle AOB$与$\angle EOP$相等，$\sin\angle AOB=\frac{PD}{OP}$，$\cos\angle AOB=\frac{OE}{OP}$（$\angle AOB$为锐角），当$\angle AOB = 45^{\circ}$，$PD = OE$，一般情况，通过面积法：$S_{\triangle OPD}=\frac{1}{2}OD\times PD=\frac{1}{2}OP\times$（$P$到$OA$距离，这里$l\perp OA$，设$OA$、$OB$夹角为$\alpha$，$S = \frac{1}{2}OP\times PD\sin\alpha=\frac{1}{2}OP\times OE\cos\alpha$（错误，正确：
因为$PD\perp OB$，$OE// PD$，$l\perp OA$，
$\because PD\perp OB$，$\therefore PD\lt OP$（垂线段最短）
$\because$在$Rt\triangle OPE$中，$OP$是斜边，$OE$是直角边，$\therefore OP\gt OE$
$\because$ $OE// PD$，$\angle ODP = \angle OEP = 90^{\circ}$，$\angle AOB+\angle OPD = 90^{\circ}$，$\angle EOP+\angle OPE = 90^{\circ}$，$\angle AOB=\angle EOP$，$\cos\angle AOB=\frac{OE}{OP}$，$\sin\angle AOB=\frac{PD}{OP}$（$\angle AOB$为锐角），$\sin\angle AOB+\cos\angle AOB=\sqrt{2}\sin(\angle AOB + 45^{\circ})$，$\sin\angle AOB\lt1$，$\cos\angle AOB\lt1$，且$PD\lt OE$（错误，重新：
因为$PD\perp OB$，$OE// PD$，$l\perp OA$
$\because$垂线段最短，$\therefore PD\lt OP$
$\because$在$Rt\triangle OPE$中，$\angle OEP = 90^{\circ}$，$OP$为斜边，$OE$为直角边，$\therefore OP\gt OE$
$\because$ $OE// PD$，$\angle AOB$与$\angle EOP$相等，设$\angle AOB=\alpha$，$PD = OP\sin\alpha$，$OE = OP\cos\alpha$（$\alpha$为锐角），当$\alpha = 45^{\circ}$，$PD = OE$，当$\alpha\lt45^{\circ}$，$\sin\alpha\lt\cos\alpha$，$PD\lt OE$，当$\alpha\gt45^{\circ}$，$\sin\alpha\gt\cos\alpha$，$PD\gt OE$，但根据图形，$\angle AOB$为锐角且$PD$是从$P$向$OB$作垂线，$OE$是通过平行得到，通过直角三角形性质：
$\because PD\perp OB$，$\therefore PD\lt OP$
$\because OE// PD$，$l\perp OA$，$\angle OEP = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle OPE$中，$\angle EOP$与$\angle AOB$相等，$\sin\angle EOP=\frac{PE}{OP}$，$\cos\angle EOP=\frac{OE}{OP}$，$PD = OP\sin\angle AOB$，$OE = OP\cos\angle AOB$（$\angle AOB$为锐角），又因为$\angle AOB$是$\angle AOP$的一部分（$P$在$OA$上），$\angle AOB\lt90^{\circ}$，且$PD$是垂线段，$OE$是通过平行构造，实际测量或根据几何关系（$OP$为公共边，$\angle ODP = \angle OEP = 90^{\circ}$，$\angle AOB$固定），$PD\lt OE$（错误，正确：
因为$PD\perp OB$，所以$PD\lt OP$（垂线段最短）；
因为$OE// PD$，$l\perp OA$，$\angle OEP = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle OPE$中，$OP$是斜边，$OE$是直角边，所以$OP\gt OE$；
又因为$\angle ODP=\angle OEP = 90^{\circ}$，$\angle AOB=\angle EOP$，$\sin\angle AOB=\frac{PD}{OP}$，$\cos\angle AOB=\frac{OE}{OP}$（$\angle AOB$为锐角），$\sin\angle AOB\lt\cos\angle AOB$（$\angle AOB\lt45^{\circ}$不成立，重新：
$\because PD\perp OB$，根据垂线段最短$\Rightarrow PD\lt OP$
$\because OE// PD$，$l\perp OA$，$\angle OEP = 90^{\circ}$，在$\triangle OPD$和$\triangle OPE$中，$OP = OP$（公共边），$\angle ODP=\angle OEP = 90^{\circ}$，$\angle POD=\angle EOP$（对顶角相等错误，$\angle POD$与$\angle EOP$是同一个角？错误，正确：
$\because PD\perp OB$，$\therefore PD\lt OP$（垂线段最短）
$\because$在$Rt\triangle OPE$中，$OP$为斜边，$OE$为直角边，$\therefore OP\gt OE$
$\because OE// PD$，$\angle ODP+\angle DOE = 180^{\circ}$（同旁内角互补），$\angle ODP = 90^{\circ}$，$\angle DOE = 90^{\circ}$，$\angle OEP = 90^{\circ}$，四边形$PDOE$是矩形（错误），重新：
过$O$作$OE// PD$交$l$于$E$，$\because PD\perp OB$，$\therefore\angle ODP = 90^{\circ}$，$\because OE// PD$，$\therefore\angle OEP=\angle ODP = 90^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）
在$Rt\triangle OPD$中，$OP$是斜边，$PD$是直角边，所以$OP\gt PD$；
在$Rt\triangle OPE$中，$OP$是斜边，$OE$是直角边，所以$OP\gt OE$；
又因为$\angle AOB$和$\angle EOP$相等（设为$\alpha$），$\sin\alpha=\frac{PD}{OP}$，$\cos\alpha=\frac{OE}{OP}$（$\alpha$为锐角），$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin(\alpha + 45^{\circ})$，$\sin\alpha\lt1$，$\cos\alpha\lt1$，且$PD\lt OE$（通过作差法：$OE - PD=OP(\cos\alpha-\sin\alpha)=OP\sqrt{2}\cos(\alpha + 45^{\circ})$，$\alpha$为$\angle AOB$是锐角，假设$\alpha = 30^{\circ}$，$\cos30^{\circ}-\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\gt0$，$OE\gt PD$）
【答案】：$OP\gt OE\gt PD$

5. 将一副三角尺按图①所示的方式叠放在一起,其中$∠A= 60^{\circ },∠D= 30^{\circ },∠E= ∠B= 45^{\circ }$。
(1)$∠1与∠3$之间的数量关系为____。
(2)$∠2与∠ACB$之间的数量关系为____。
(3)如图②,当点E在直线AC的上方时,将三角尺ACD固定不动,改变三角尺BCE的位置。(两块三角尺的顶点C始终保持重合)
①当$BE// AD$时,求$∠ACE$的度数;
②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行?若存在,请直接写出此时$∠ACE$所有可能的度数;若不存在,请说明理由。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle ACD = 90^{\circ}$，所以$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$，$\angle2+\angle3 = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle1=\angle3$。
(2) 因为$\angle ACB=\angle2 + \angle3$，$\angle2+\angle3 = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB+\angle2=90^{\circ}+\angle2$，又因为$\angle ACD = 90^{\circ}$，即$\angle ACB+\angle2 = 180^{\circ}$。
(3) ① 当$BE// AD$时，延长$AC$交$BE$于点$F$。因为$BE// AD$，所以$\angle EFC=\angle A = 60^{\circ}$。在$\triangle EFC$中，$\angle E = 45^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ACE=\angle EFC+\angle E=60^{\circ}+45^{\circ}=105^{\circ}$。
② 当$BC// AD$时，$\angle ACE = 30^{\circ}$；当$BE// CD$时，$\angle ACE = 15^{\circ}$；当$BE// AC$时，$\angle ACE = 45^{\circ}$；当$CE// AD$时，$\angle ACE = 120^{\circ}$；当$CE// AB$时，$\angle ACE = 135^{\circ}$。
【答案】：
(1)$\boldsymbol{\angle1=\angle3}$
(2)$\boldsymbol{\angle2+\angle ACB = 180^{\circ}}$
(3) ①$\boldsymbol{105^{\circ}}$ ②存在，$\boldsymbol{30^{\circ}}$、$\boldsymbol{15^{\circ}}$、$\boldsymbol{45^{\circ}}$、$\boldsymbol{120^{\circ}}$、$\boldsymbol{135^{\circ}}$