《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 下列运算结果为$a^{6}$的是()
A. $a^{2}\cdot a^{3}$
B. $a^{12}÷a^{2}$
C. $(a^{3})^{2}$
D. $(\frac {1}{2}a^{3})^{2}$

答案： C

2. 若$a= -2^{2},b= (-3)^{-2},c= -3^{0}$,则 a,b,c 的大小关系是()
A. $a\lt b\lt c$
B. $a\lt c\lt b$
C. $b\lt a\lt c$
D. $c\lt b\lt a$

答案： B

3. 若$(x^{2}-mx-n)(x-3)的乘积中不含x^{2}$和x项,则m,n的值为()
A. $m= 0,n= 0$
B. $m= -3,n= -9$
C. $m= -3,n= 9$
D. $m= 3,n= -9$

答案： B

4. 计算:$(-255)^{2}-2×5×255+(-5)^{2}= $。

答案： 62500

5. 如果$(2a+2b+1)(2a+2b-1)= 15$,那么$(a+b)^{2}$的值为。

答案： $4$

6. 设a,b是实数,定义关于“*”的一种运算如下:$a*b= (a+b)^{2}-(a-b)^{2}$。有下列结论:①若$a*b= 0$,则$a= 0或b= 0$;②不存在实数a,b满足$a*b= a^{2}+4b^{2}$;③$a*(b+c)= a*b+a*c$;④若$a*b= 8$,则$10ab^{3}÷5b^{2}= 4$。其中正确的是(填序号)。

答案： ①③④

7. 计算:
(1)$(x+2y-z)(x-2y+z)$;
(2)$(5a+2b-3c)^{2}$。

答案： 【解析】：1. 对于$(x + 2y - z)(x - 2y + z)$，将其变形为$[x+(2y - z)][x-(2y - z)]$，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = x$，$b=(2y - z)$，则$[x+(2y - z)][x-(2y - z)]=x^{2}-(2y - z)^{2}$。再根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，其中$m = 2y$，$n = z$，可得$x^{2}-(2y - z)^{2}=x^{2}-(4y^{2}-4yz + z^{2})=x^{2}-4y^{2}+4yz - z^{2}$。
2. 对于$(5a + 2b - 3c)^{2}$，把$5a+2b$看成一个整体，即$[(5a + 2b)-3c]^{2}$，根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，这里$m = 5a + 2b$，$n = 3c$，则$[(5a + 2b)-3c]^{2}=(5a + 2b)^{2}-2\times(5a + 2b)\times3c+(3c)^{2}$。再根据完全平方公式$(p+q)^{2}=p^{2}+2pq + q^{2}$，其中$p = 5a$，$q = 2b$，可得$(5a + 2b)^{2}=25a^{2}+20ab + 4b^{2}$，所以$(5a + 2b)^{2}-2\times(5a + 2b)\times3c+(3c)^{2}=25a^{2}+20ab + 4b^{2}-30ac - 12bc+9c^{2}$。
【答案】：1.$x^{2}-4y^{2}+4yz - z^{2}$ 2.$25a^{2}+20ab + 4b^{2}-30ac - 12bc + 9c^{2}$

8. 先化简,再求值:$(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)^{2}$,其中$x= -\frac {1}{3}$。

答案： 【解析】：
本题可先根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$、单项式乘多项式法则以及完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$对原式进行化简，再将$x = -\frac{1}{3}$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式**
**利用平方差公式化简$(3x + 2)(3x - 2)$：**
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，其中$a = 3x$，$b = 2$，可得$(3x + 2)(3x - 2)=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4$。
**利用单项式乘多项式法则化简$5x(x - 1)$：**
根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$5x(x - 1)=5x\times x - 5x\times1 = 5x^{2}-5x$。
**利用完全平方公式化简$(2x - 1)^{2}$：**
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，其中$a = 2x$，$b = 1$，可得$(2x - 1)^{2}=(2x)^{2}-2\times2x\times1 + 1^{2}=4x^{2}-4x + 1$。
**将上述化简结果代入原式并去括号：**
$(3x + 2)(3x - 2) - 5x(x - 1) - (2x - 1)^{2}=9x^{2}-4-(5x^{2}-5x)-(4x^{2}-4x + 1)$
去括号得$9x^{2}-4 - 5x^{2}+5x - 4x^{2}+4x - 1$。
**合并同类项：**
将含有相同字母且相同字母的指数也相同的项合并，可得$(9x^{2}- 5x^{2}- 4x^{2})+(5x + 4x)+(-4 - 1)=9x - 5$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = -\frac{1}{3}$代入化简后的式子$9x - 5$，可得$9\times(-\frac{1}{3}) - 5=-3 - 5=-8$。
【答案】：$-8$

9. 观察下列各式:
$(x-1)(x+1)= x^{2}-1,(x-1)(x^{2}+x+1)= x^{3}-1,(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)= x^{4}-1$。
根据上面的规律,完成下列各题。
(1)$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+... +x+1)= $(用含n的代数式表示,n为正整数)。
(2)计算$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{29}+2^{30}$的值。

答案： 【解析】：1. 观察所给的三个式子：$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$，$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$，$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$，可以发现规律：$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+x^{n - 3}+\cdots+x + 1)=x^{n}-1$（$n$为正整数）。
2. 要求$1 + 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{29}+2^{30}$的值，可根据上述规律，令$x = 2$，$n=31$，则$(2 - 1)(1 + 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{29}+2^{30})=2^{31}-1$，因为$2 - 1 = 1$，所以$1 + 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{29}+2^{30}=2^{31}-1$。
【答案】：1.$x^{n}-1$ 2.$2^{31}-1$