《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 下列说法正确的是()
①同位角相等;②两点之间的所有连线中,线段最短;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④两点之间的距离是两点间的线段;⑤在同一平面内,若$∠AOB= 70^{\circ },∠BOC= 30^{\circ }$,则$∠AOC= 100^{\circ }$。
A. ②
B. ②③
C. ②③④
D. ②③⑤

答案： A

2. 如图,$AC// BD$,BC平分$∠ABD$。若$∠EAF= 130^{\circ }$,则$∠CBD= $______$^{\circ }$。

答案： $25$

3. 如图,若$AB// CD,CD// EF$,则$∠1,∠2,∠3$之间的数量关系为______。

答案： $\angle 1+\angle 2+\angle 3 = 180^{\circ}$

4. 一款手机支架的示意图如图所示,底座支架 PQ 与桌面 MN 垂直,$∠BPQ为固定值150^{\circ }$,AB 是活动连杆,其可绕点 B 旋转,使$∠B$的度数发生变化进而带动手机夹升降。当$AB// MN$时,$∠B= $______$^{\circ }$。

答案： $60$

5. 【测量猜想】如图①,已知$AB// CD$,请写出$∠BAE,∠DCE,∠AEC$之间的数量关系:______。
【探究验证】如图②,$AB// CD$,当点 E 位于平行线的一侧时,写出$∠BAE,∠DCE,∠AEC$之间的数量关系,并说明理由。
【结论应用】图③是某探照灯灯碗的纵剖面,在焦点 O 处发出的光线经灯碗(点 C 除外)反射后均沿与 CO 平行的方向射出,入射光线 OA 的反射光线为 AB,$∠OAB= 65^{\circ }$。若入射光线 OD 经灯碗反射后沿 DE 方向射出,且$∠ODE= 25^{\circ }$,求$∠AOD$的度数。

答案： 【解析】：
- 【测量猜想】
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// CD$。
$\angle BAE+\angle AEF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），$\angle DCE+\angle CEF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\angle BAE+\angle AEF+\angle DCE+\angle CEF=\angle BAE+\angle DCE+\angle AEC = 360^{\circ}$。
- 【探究验证】
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// CD$。
$\angle BAE=\angle AEF$（两直线平行，内错角相等），$\angle DCE=\angle CEF$（两直线平行，内错角相等）。
$\angle AEC=\angle AEF - \angle CEF=\angle BAE-\angle DCE$。
- 【结论应用】
过点$O$作$OM// AB$，因为$AB// CF$，所以$OM// CF$。
由反射性质可知$\angle COM=\angle OAB = 65^{\circ}$，$\angle DOM=\angle ODE = 25^{\circ}$。
当$DE$在$CF$上方时，$\angle AOD=\angle COM-\angle DOM = 65^{\circ}-25^{\circ}=40^{\circ}$；
当$DE$在$CF$下方时，$\angle AOD=\angle COM+\angle DOM = 65^{\circ}+25^{\circ}=90^{\circ}$。
【答案】：
【测量猜想】$\angle BAE+\angle DCE+\angle AEC = 360^{\circ}$
【探究验证】$\angle AEC=\angle BAE-\angle DCE$，理由：过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// CD$，$\angle BAE=\angle AEF$，$\angle DCE=\angle CEF$，$\angle AEC=\angle AEF - \angle CEF=\angle BAE-\angle DCE$。
【结论应用】$40^{\circ}$或$90^{\circ}$