《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 下列计算正确的是()
A. $a^{6}÷ a^{2}= a^{3}$
B. $(-1)^{0}= 0$
C. $\left(-\dfrac {1}{2}\right)^{-2}= \dfrac {1}{4}$
D. $2a^{5}\cdot a^{3}= 2a^{8}$

答案： D

2. 若$x^{2}-y^{2}= 3$,则$(x+y)^{2}(x-y)^{2}$的值为______。

答案： 9

3. 计算：(______)$\cdot (-2xy)= 4x^{2}y-2xy$。

答案： $-2x + 1$

4. 计算：$\left(1+\dfrac {1}{2}\right)\left(1+\dfrac {1}{2^{2}}\right)\left(1+\dfrac {1}{2^{4}}\right)\left(1+\dfrac {1}{2^{8}}\right)\left(1+\dfrac {1}{2^{16}}\right)+\dfrac {1}{2^{31}}= $______。

答案： $2$

5. 计算：
(1) $(-a^{2}b)^{3}+a^{4}b\cdot (-2ab)^{2}$；
(2) $(x-1)(2x+1)-(x-5)(x+2)$。

答案： 【解析】：1. 对于$(-a^{2}b)^{3}+a^{4}b\cdot (-2ab)^{2}$，先根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$计算$(-a^{2}b)^{3}$和$(-2ab)^{2}$，$(-a^{2}b)^{3}=(-1)^3\times(a^{2})^{3}\times b^{3}=-a^{6}b^{3}$，$(-2ab)^{2}=(-2)^2\times a^{2}\times b^{2}=4a^{2}b^{2}$，再计算$a^{4}b\cdot4a^{2}b^{2}=4a^{4 + 2}b^{1+2}=4a^{6}b^{3}$，最后将两部分相加$-a^{6}b^{3}+4a^{6}b^{3}=3a^{6}b^{3}$。
2. 对于$(x - 1)(2x + 1)-(x - 5)(x + 2)$，先根据多项式乘多项式法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$分别计算$(x - 1)(2x + 1)$和$(x - 5)(x + 2)$，$(x - 1)(2x + 1)=2x^{2}+x-2x - 1=2x^{2}-x - 1$，$(x - 5)(x + 2)=x^{2}+2x-5x - 10=x^{2}-3x - 10$，然后相减$(2x^{2}-x - 1)-(x^{2}-3x - 10)=2x^{2}-x - 1 - x^{2}+3x + 10=x^{2}+2x + 9$。
【答案】：1. $3a^{6}b^{3}$ 2. $x^{2}+2x + 9$

6. 如图①,边长为$a的大正方形中有一个边长为b$的小正方形,将图①中的阴影部分拼成一个长方形,如图②所示。
(1) 上述操作能验证的等式是()
A. $a^{2}-b^{2}= (a+b)(a-b)$
B. $a^{2}-2ab+b^{2}= (a-b)^{2}$
C. $a^{2}+ab= a(a+b)$
(2) 请应用(1)中的等式解答下列各题。
① 若$a^{2}-b^{2}= 28$,$a+b= 7$,则$a-b= $______。
② 计算：$50^{2}-49^{2}+48^{2}-47^{2}+… +4^{2}-3^{2}+2^{2}-1^{2}$。
③ 计算：$\left(1-\dfrac {1}{2^{2}}\right)× \left(1-\dfrac {1}{3^{2}}\right)× \left(1-\dfrac {1}{4^{2}}\right)× … × \left(1-\dfrac {1}{49^{2}}\right)× \left(1-\dfrac {1}{50^{2}}\right)$。

答案： 【解析】：
(1)
图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^{2}-b^{2}$。
图②中长方形的长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$。
因为阴影部分面积不变，所以$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，答案选A。
(2)
①
已知$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=28$，$a + b = 7$，则$a - b=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a + b}=\dfrac{28}{7}=4$。
②
$\begin{aligned}&50^{2}-49^{2}+48^{2}-47^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1^{2}\\=&(50 + 49)(50 - 49)+(48 + 47)(48 - 47)+\cdots+(4 + 3)(4 - 3)+(2 + 1)(2 - 1)\\=&(50 + 49)+(48 + 47)+\cdots+(4 + 3)+(2 + 1)\\=&(50 + 1)+(49 + 2)+\cdots+(26 + 25)\\=&51\times25\\=&1275\end{aligned}$
③
$\begin{aligned}&\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\times\cdots\times\left(1-\dfrac{1}{49^{2}}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{50^{2}}\right)\\=&\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1 + \dfrac{1}{4}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{49}\right)\left(1 + \dfrac{1}{49}\right)\left(1-\dfrac{1}{50}\right)\left(1 + \dfrac{1}{50}\right)\\=&\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{4}\cdots\dfrac{48}{49}\times\dfrac{50}{49}\times\dfrac{49}{50}\times\dfrac{51}{50}\\=&\dfrac{1}{2}\times\dfrac{51}{50}\\=&\dfrac{51}{100}\end{aligned}$
【答案】：
(1)A
(2)①$4$ ②$1275$ ③$\dfrac{51}{100}$